driehoek van pascal!?

[b0tje]

(x+1)^0 = 1
(x+1)^1 = 1 + x
(x+1)^2 = 1 + 2x + x^2
(x+1)^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3
(x+1)^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4
(x+1)^5 = 1 + 5x + 10x^2 + 10x^3 + 5x^4 + x^5 .....


wie kan me dit uitleggen? =S

bedankt!

[Fade of Light]

Ken je het plaatje met de getallen wel?
Op de eerste regel (top van de driehoek) staat een 1
dan een 1 en een 1
dan op de volgende regel 1 2 1
weer de volgende regel 1 3 3 1


Hoe pas je dit toe?
Je hebt de formule (z+x)^n
dan kijk je naar de nde regel. Stel daar staat:
1 a b c b a 1

dan moet je 1*xⁿ*z⁰ + a*x^(n-1)*z¹+b*x^(n-2)*z².....

oftewel je telt bij de macht van x steeds 1 eraf en bij de macht z een erop en het getal waar je mee vermenigvuldigt, haal je uit de driehoek van pascal.


edit: wat een typo's

[b0tje]

ja, ik ken t plaatje..
en dat de getallen zelfde zijn als in de driehoek maar ik snapte met dat (x+1)^1 niet echt...
maar is de formule niet -->

n!
[n:k] = --------
k! (n-k)!

dat had ik teminste gelezen =/ ook al vink dat ook vaag =/
maar, bedankt voor je reactie!

[b0tje]

sorry bedoelde dit:

n!
[n:k] = --------
k! (n-k)!

[b0tje]

n:k = n : k! (n-k)!

[Fade of Light]

eh ja zoiets was het ook, maar dat weet ik zo allemaal niet meer uit me hoofd, je moet ff wachten op mathfreak ofzo

[mathfreak]

swm schreef op 21-03-2004 @ 18:28:
ja, ik ken t plaatje..
en dat de getallen zelfde zijn als in de driehoek maar ik snapte met dat (x+1)¹ niet echt...
maar is de formule niet --> [n:k] = n!/(k!(n-k)!)


dat had ik teminste gelezen =/ ook al vink dat ook vaag =/

*Ik heb de notatie hier en daar wat aangepast om het geheel wat beter leesbaar te maken*
De binomiaalcoëfficiënten [n:k] worden inderdaad gegeven door de driehoek van Pascal, en de formule die je voor [n:k] geeft klopt ook. De binomiaalcoëfficiënten treden ook op in de ontwikkeling van (a+b)ⁿ, een ontwikkeling die bekend staat als het binomium van Newton. We noemen a+b namelijk een binomium of tweeterm, en volgens het binomium van Newton geldt: (a+b)ⁿ=[n:0]*aⁿ+[n:1]*a^n-1*b¹+[n:1]*a^n-2*b²+...
+[n-1]*a¹*b^n-1+[n]*bⁿ. Er geldt: [n:0]=[n]=1, [n:k]=[n-k] en [n:k]+[n:k+1]=[n+1:k+1].

[b0tje]

en dat alles wordt algebra genoemd, ofniet?
en bedankt voor de uitleg mathfreak