oppervlakte

Ik heb morgen tentamen en nu zit ik nog vast bij het volgende:

Find the area of the surface:

-The part of the plane x+2y+z=4 that lies inside the cylinder x²+y²=4

-The part of the hyperbolic paraboloid z=y²-x² that lies between the cylinders x²+y²=1 and x²+y²=4

-the part of the surface 4x+z² that lies between the planes x=0, x=1, z=0 and z=1

Ik zou het erg waarderen als iemand hiermee zou kunnen helpen

mvg,

Floris

[mathfreak]

FlorisvdB schreef op 18-05-2004 @ 16:44 :
Ik heb morgen tentamen en nu zit ik nog vast bij het volgende:

Find the area of the surface:

-The part of the plane x+2y+z=4 that lies inside the cylinder x²+y²=4

-The part of the hyperbolic paraboloid z=y²-x² that lies between the cylinders x²+y²=1 and x²+y²=4

-the part of the surface 4x+z² that lies between the planes x=0, x=1, z=0 and z=1

Ik zou het erg waarderen als iemand hiermee zou kunnen helpen

mvg,

Floris

Bepaal de snijpunten van de gegeven oppervlakken. Aan de hand daarvan kun je de integratiegrenzen bepalen en kun je de gevraagde oppervlakte bepalen.

mathfreak schreef op 18-05-2004 @ 18:18 :
Bepaal de snijpunten van de gegeven oppervlakken. Aan de hand daarvan kun je de integratiegrenzen bepalen en kun je de gevraagde oppervlakte bepalen.

Dat heb ik geprobeerd, in het eerste geval kreeg ik:

x+2y+z=4
x²+y²=4

dus x+2y+z=x²+y²-->z=x²+y²-x-2y

Dan de formule: A=Int(Int(sqrt(1+(dz/dx)²+(dz/dy)²)))dA over gebied D.

als functie nam ik nu z=x²+y²-x-2y, dus dz/dx=2x-1 en dz/dy=2y-2.

dan krijg ik: Int(Int(sqrt(4x²+4y²-4x-8y+6))) dA
zowel x als yloopt van -2 tot 2.

dan overgaan op poolcoordinaten:

Int(Int(sqrt(4r²-8cos(phi)-16sin(phi)+6))dr)dphi
met r van 0 tot 2 en phi van 0 tot 2Pi

maar dan krijg zowel ik als Maple dat ding niet goed ge-integreerd...
wat doe ik dan in vredesnaam fout?

[mathfreak]

FlorisvdB schreef op 18-05-2004 @ 20:18 :
Dat heb ik geprobeerd, in het eerste geval kreeg ik:

x+2y+z=4
x²+y²=4

dus x+2y+z=x²+y²-->z=x²+y²-x-2y

Dan de formule: A=Int(Int(sqrt(1+(dz/dx)²+(dz/dy)²)))dA over gebied D.

als functie nam ik nu z=x²+y²-x-2y, dus dz/dx=2x-1 en dz/dy=2y-2.

dan krijg ik: Int(Int(sqrt(4x²+4y²-4x-8y+6))) dA
zowel x als yloopt van -2 tot 2.

dan overgaan op poolcoordinaten:

Int(Int(sqrt(4r²-8cos(phi)-16sin(phi)+6))dr)dphi
met r van 0 tot 2 en phi van 0 tot 2Pi

maar dan krijg zowel ik als Maple dat ding niet goed ge-integreerd...
wat doe ik dan in vredesnaam fout?

Dat kan ik zo niet zien. Heb je er overigens wel op gelet dat je x=r*cos(fi) en y=r*sin(fi) krijgt bij de omzetting van gewone coördinaten naar poolcoördinaten?

mathfreak schreef op 18-05-2004 @ 20:27 :
Dat kan ik zo niet zien. Heb je er overigens wel op gelet dat je x=r*cos(fi) en y=r*sin(fi) krijgt bij de omzetting van gewone coördinaten naar poolcoördinaten?

ja, maar ik zie opeens wel dat ik de jakobiaan ben vergeten:

het moet dus zijn:

Int(Int(r*sqrt(4r²-8cos(phi)-16sin(phi)+6))dr)dphi
met r van 0 tot 2 en phi van 0 tot 2Pi


maar dan nog lukt het me niet..

[blablalou]

Hallo F..B,

kan z = 4 - x - 2y in domein x^2+y^2 = 4 niet zo....

Oppervl = DubInt sqrt((-1)^2 + (-2)^2 +1) rdr dfi =

= 2 pi Int sqrt(6) r dr [van 0->2] =

= 2 pi sqrt(6) 1/2 r^2 [grens 2 - 0] =

= 4 pi sqrt(6) .... afwijkend van de vorige poging ????

Een tweede poging volgens de vorige manier levert nu ook deze uitkomst (second opinion)

1. neem Hesse vorm vlak OA = 4, OB = 2 OC = 4
2. trek loodlijn O --> AB = OP en trek CP
3. met wat pyt-werk CP/OP = sqrt(6) (ging eerst fout)
4. hoek vlak/as cylinder = arcsin(1/sqrt(6)) = 24.1 gr
5. Opperv (schuine) doorsnede pi r^2 sqrt(6) = 4 pi sqrt(6) q.e.d.


de laatste (via cyclisch verwisselen)

Oppervl = DubInt sqrt(16 + 4 x^2) dxdy

= 2 Int sqrt(x^2 + 4) dx [0->1]

= x sqrt(x^2 + 4) + 4 ln(x + sqrt(x^2 + 4)) [grens 1 - 0] etc ?????

NB als je #2 weet, wil je h'm dan overseinen?

blablalou schreef op 20-05-2004 @ 00:28 :
Hallo F..B,

kan z = 4 - x - 2y in domein x^2+y^2 = 4 niet zo....

Oppervl = DubInt sqrt((-1)^2 + (-2)^2 +1) rdr dfi =

= 2 pi Int sqrt(6) r dr [van 0->2] =

= 2 pi sqrt(6) 1/2 r^2 [grens 2 - 0] =

= 4 pi sqrt(6) .... afwijkend van de vorige poging ????

Een tweede poging volgens de vorige manier levert nu ook deze uitkomst (second opinion)

1. neem Hesse vorm vlak OA = 4, OB = 2 OC = 4
2. trek loodlijn O --> AB = OP en trek CP
3. met wat pyt-werk CP/OP = sqrt(6) (ging eerst fout)
4. Opperv (schuine) doorsnede 2 pi r^2 sqrt(6) = 4 pi sqrt(6) q.e.d.


de laatste (via cyclisch verwisselen)

Oppervl = DubInt sqrt(16 + 4 x^2) dxdy

= 2 Int sqrt(x^2 + 4) dx [0->1]

= x sqrt(x^2 + 4) + 4 ln(x + sqrt(x^2 + 4) [grens 1 - 0] etc ?????

NB als je #2 weet, wil je h'm dan overseinen?

Die 2e methode ken ik niet, maar die 1e oplossing kan ik wel volgen en het antwoord klopt

bedankt dus

en naar #2 zal ik nog eens kijken

[blablalou]

hallo F..B,

Is dit...
http://www.math.ucla.edu/~ronmiech/C...ap13/section6/
...interessant ?

[blablalou]

hallo F..B

heureka... (de - wordt ingevuld een + ... foutje)

#2 gaat zo:

Opperv = DubInt sqrt(4y^2 ++++++ 4x^2 + 1) dydx

= DubInt sqrt( 4r^2 [(cos^2(fi) + sin^2(fi)] + 1) r dr dfi

= 2pi Int r sqrt(4 r^2 + 1) dr [1 -> 2]

= 2pi * 1 /(4 *3) * sqrt[ (4 r^2 + 1)^3 ] [grens 2 -1) etc

bedankt voor de uitwerkingen en die link
ik denk dat ik het nu wel begrijp
(voor de herkansing calculus 2B over een paar weken )