[WI] probleem toelatingsexamen

[tiger31]

hey,
kan iemand mij helpen met een wiskundeopgave?

Opgave:Berken a en b opdat 4x^4+7x^3-ax^2+bx+20 deelbaar is door (x+1)(x-1) en zoek daarna het quotiënt.

met derive lukt het me ook niet.

Hoe is deelbaarheid van polynomen gedefinieerd? Na de deling moet je een polynoom overhouden, ofzo?

[mathfreak]

tiger31 schreef op 15-09-2004 @ 18:22 :
hey,
kan iemand mij helpen met een wiskundeopgave?

Opgave:Bereken a en b opdat 4x^4+7x^3-ax^2+bx+20 deelbaar is door (x+1)(x-1) en zoek daarna het quotiënt.

met derive lukt het me ook niet.

Werk eerst (x+1)(x-1) uit. Dit geeft: (x+1)(x-1)=x²-1. Stel nu
4*x⁴+7*x³-a*x²+b*x+20=(x²-1)(4*x²+c*x-20)=4*x⁴+c*x³-24*x²-c*x+20. Dit geeft: c=7, a=24 en b=-c=-7.

[liner]

kan het ook zo?

als 4x^4+7x^3-ax^2+bx+20 deelbaar is door (x+1)(x-1)
dan zijn 1 en -1 de nulpunten van f(x)=4x^4+7x^3-ax^2+bx+20
dus
f(1)=4+7-a+b+20=31-a+b=0
f(-1)=4-7-a-b+20=17-a-b=0
de stelselvergelijkingen moet opgelost worden
31-a+b=0
17-a-b=0
we krijgen a=24 en b=-7
waar zit mijn fout ?

[TD]

Ik denk niet dat je iets fout doet liner, je komt er ook zo aan:

Vertrek van de speciale voorwaarden voor deling door x-1 en x+1.

Een veelterm is immers deelbaar door x-1 als de som van alle coëfficienten 0 is. Deling door x+1 heb je wanneer de som van de coëfficienten van de even x-machten gelijk is aan de soms van de coëfficienten van de oneven x-machten.

Als je deze nooit gezien hebt heeft dit weinig zin, anders is het redelijk simpel zo.

4x^4+7x^3-ax^2+bx+20

4+7-a+b+20=0
4-a+20=7+b
<=>
-a+b+31 = 0
-a - b + 17 = 0

En dan heb je hetzelfde stelsel met a= 24 en b= -7 als oplossing.
Vermits volgens dit stelsel dit de enige oplossing is, denk ik dat er een foutje zit bij de methode (of uitrekening?) van Mathfreak.

Ik heb het niet nagerekend maar na vervanging van zijn oplossingen krijg je:
4x^4 + 7x^3 + 16x^2 + 7x + 20 = 0
Volgens de deelbaarheidskenmerken die ik eerder vernoemde kan deze veelterm niet deelbaar zijn door (x-1) of (x+1)

[TD]

mathfreak schreef op 15-09-2004 @ 19:57 :
Je fout zit hem in het feit dat je niet uit moet gaan van het feit dat 1 en -1 aan de vergelijking dienen te voldoen, maar dat je, zoals ik al aangaf, gebruik maakt van het feit dat 4*x⁴+7*x³+-a*x²+b*x+20 te schrijven is als
(x+1)(x-1)*g(x)=(x²-1)*g(x), waarbij g(x) van de vorm p*x²+q*x+r is, met p=4 en r=-20, zoals je in mijn vorige reply kunt zien.

Maar 4x^4 + 7x^3 + 16x^2 + 7x + 20 (de veelterm die je krijgt na substitutie van jouw oplossingen) is noch door x+1, noch door x-1 deelbaar, ofwel ben ik nu helemaal in de war

[liner]

ik gebruikte de stelling die zegt: a,b en c gehele getallen, als a deelbaar is door bc dan is a deelbaar door b en door c.

[mathfreak]

TDH schreef op 15-09-2004 @ 20:00 :
Maar 4x^4 + 7x^3 + 16x^2 + 7x + 20 (de veelterm die je krijgt na substitutie van jouw oplossingen) is noch door x+1, noch door x-1 deelbaar, ofwel ben ik nu helemaal in de war

Nee, dat ben je niet. Ik had een fout in mijn uitwerking gemaakt die ik inmiddels heb gecorrigeerd. De waarde a=24 en b=-7 is inderdaad correct. Zie verder de correctie in mijn eerste reply.