Somformule van reeks

[C r Y p S]

Dit is een domme vraag... een soort weggezakte vwo-wiskunde zeg maar...

Wat is de handigste manier om van de volgende reeks de somformule op te stellen (die dus de som van alle termen S1+S2+...+Sn geeft voor een bepaalde n).

Het gaat om de reeks

n / (10n + 17) van n=1 tot oneindig

Ik was al aan het kijken naar partiële fracties, maar dat staat nogal wazig uitgelegd in m'n calculus boek dus daar kom ik niet echt verder mee. Bovendien moet het toch simpeler kunnen.

[bulbanos]

wel deze som geeft uiteraard oneindig als resultaat

je kan dat zien door de limiet van de rij te nemen en te zien dat die naar 1/10 gaat. Er is een stelling die zegt dat een reekssom enkel convergeert als zijn rij naar nul convergeert.

[mathfreak]

C r Y p S schreef op 05-03-2005 @ 16:58 :
Dit is een domme vraag... een soort weggezakte vwo-wiskunde zeg maar...

Wat is de handigste manier om van de volgende reeks de somformule op te stellen (die dus de som van alle termen S1+S2+...+Sn geeft voor een bepaalde n).

Het gaat om de reeks

n / (10n + 17) van n=1 tot oneindig

Ik was al aan het kijken naar partiële fracties, maar dat staat nogal wazig uitgelegd in m'n calculus boek dus daar kom ik niet echt verder mee. Bovendien moet het toch simpeler kunnen.

Het gaat hier om een rij, gedefinieerd door a_n=n/(10*n+17). De daarbij behorende reeks s_n stelt de som van de eerste n termen van de rij voor. Er is dus een verschil tussen het begrip rij en reeks.
Bekijk het quotiënt a_n+1/a_n=(n+1)/(10*n+27)*(10*n+17)/n
=(n+1)(10*n+17)/(10*n²+27*n)=(10*n²+27*n+27)/(10*n²+27*n).
Er geldt dus: a_n+1/a_n>1 voor alle n, dus dat betekent dat de bijbehorende reeks divergent is, en dus naar oneindig gaat als n dat ook doet.

bulbanos schreef op 05-03-2005 @ 19:13 :
wel deze som geeft uiteraard oneindig als resultaat

je kan dat zien door de limiet van de rij te nemen en te zien dat die naar 1/10 gaat. Er is een stelling die zegt dat een reekssom enkel convergeert als zijn rij naar nul convergeert.

Dat is onjuist, de regel is dat de rij divergeert als de limiet van de rij =/= 0

Lucky Luciano schreef op 06-03-2005 @ 12:45 :
Dat is onjuist, de regel is dat de rij divergeert als de limiet van de rij =/= 0

Het is allebei juist. De termen van de reeks moeten naar nul convergeren om de reeks convergent te maken, maar dat is geen garantie dat de reeks ook daadwerkelijk convergent is. In de wiskunde wordt dit ook wel een noodzakelijke voorwaarde genoemd.

Mephostophilis schreef op 06-03-2005 @ 16:29 :
Het is allebei juist. De termen van de reeks moeten naar nul convergeren om de reeks convergent te maken, maar dat is geen garantie dat de reeks ook daadwerkelijk convergent is. In de wiskunde wordt dit ook wel een noodzakelijke voorwaarde genoemd.

Zoals bulbanos het prestenteert lijkt het net of hij beweert dat geldt: lim = 0, dus reeks conv.
Bovendien staat dat bewijs, niet voor niets bekent als de divergentietest of kenmerk

[bulbanos]

Lucky Luciano schreef op 07-03-2005 @ 07:57 :
Zoals bulbanos het prestenteert lijkt het net of hij beweert dat geldt: lim = 0, dus reeks conv.
Bovendien staat dat bewijs, niet voor niets bekent als de divergentietest of kenmerk

Het is idd kramikkelig uitegedrukt merk ik nu ook. Mijn excuses.


ik zeg dat als lim van de rij =/= 0 dat de reeks divergeert, niet omgekeerd. Tegenvoorbeeld is uiteraard de reeks 1/n die divergeert ook al convergeert de rij

[C r Y p S]

thnx, ik ben er inmiddels idd op de beschreven manier uitgekomen