[WI] Vraagje

Kan iemand me helpen met deze vraag:

Gegeven is de functie f_p(x) = (x+p)/(x^2+4)

Bewijs dat alle toppen van de grafieken van f_p op de kromme 1/2x liggen.

Alvast bedankt

[MMariska]

afgeleide gelijk maken aan nul, daar zitten de toppen
en die x waarden invullen in (fp(x) en in de kromme en kijken welke punten overeen komen

[TD]

- Bereken de x-coördinaten van de toppen door de afgeleide van f gelijk te stellen aan 0 en op te lossen naar x.
- Bereken de bijbehorende y-coördinaten van die toppen door die x-waarde in f in te vullen
- Uit de 2 vergelijkingen voor x en y elimineer je nu de parameter p

Als het goed is vind je de functie die de verzameling van de toppen weergeeft

Nee, het lukt niet, dat is 't nou juist. Er staat namelijk precies een voorbeeld in 't boek van zo'n soort som, maar deze komt niet uit (bij mij dan). Kijk, dit is wat ik doe:

f_p(x)= (x+p)/(x²+4)
f'_p(x)= (-x² - 2xp +4)/(x²+4)²

f'_p(x)= 0 geeft
(-x² - 2xp +4) = 0

En daar komt uit dat x= 2 V x= -2p-2

Dus p=-0,5x-1

En dan moet je dat in f_p(x) invullen dus:

y= (x-0,5x-1)/(x²+4) = (0,5x-1)/(x²+4)

En dan zijn die -1 en die +4 in die formule dus te veel zeg maar, zonder die erbij zou 't wel kloppen. Dus, wat doe ik fout?

[TD]

tralalalaa schreef op 02-06-2005 @ 11:40 :
f'_p(x)= 0 geeft
(-x² - 2xp +4) = 0

En daar komt uit dat x= 2 V x= -2p-2

Dus p=-0,5x-1

Dat lijkt me niet te kloppen hoor... Hoe kom jij aan x = 2 als oplossing? En die andere is ook fout. Hier zit niet veel anders op dan de abc-formule te gebruiken en de oplossingen zien er helaas iets moeilijker uit.

Okay, dan zit misschien daar de fout in. Ik had ook wel de abc formule gebruikt, maar dan zal daar wel de fout in zitten

[TD]

Correcte oplossingen van die vergelijking zijn: x = +/- √(p² + 4) - p

Nee, ik heb 'm denk ik.

D=(-2p)² - 4*-1*4= 4p² +16

x= (-2p-2p+4)/-2 = 2p-2
Of
x= (-2p+2p+4)/-2 = -2

X=2p-2 geeft p=0,5x+1

y=(x+0,5x+1)/(x²+4)

Dus dat wordt dan, dacht ik:

(3+1)/(2x+4) = 1/2x

Dus dan zou het kloppen

[TD]

Nu geef je weer dezelfde oplossingen, die kloppen niet.
Vul maar eens in en dan zie je toch direct dat die niet kunnen?

Ik vermoed dat het komt omdat jij van wortel(4p²+16), "2p+4" maakt en dat klopt niet!

Ja, dat doe ik ook. Waarom mag dat niet dan?

[TD]

(a+b)² is ook niet gelijk aan a² + b² maar aan a²+2ab+b²

Kwadrateer (2p+4) maar eens en je zult zien dat je niet krijgt wat er onder de wortel stond.

Oja, okay, da's waar. Even proberen met de uitkomsten die jij zei

[TD]

Het is mss toevallig dat het met jouw resultaat ook uitkwam, maar helaas zal het met de 'echte uitkomsten' minder gemakkelijk gaan...

Maar weet jij wel hoe 't moet? Want het lukt me niet, ik snap ook niet hou jij trouwens aan die twee uitkomsten bent gekomen.

Zou je het dan willen uitleggen? En zo heel moeilijk kan 't toch niet zijn, het is 4vwo wiskunde B stof.

[Supersuri]

Hij is aan die 2 uitkomsten gekomen door de afgeleide van de formule te nemen en op te lossen: f(x)'=0

Bij een top is de helling namelijk 0

Ja, zover was ik ook al :$

[sdekivit]

okee maak je borst maar nat, want het wordt een hele nare uitwerking:

je hebt al bepaald dat -x^2 - 2px + 4 = 0 en dus dat x^2 + 2px - 4 = 0

de oplossingen daarvan zijn:

x = (-2p + sqrt(4p^2 + 16)) / 2 = -p + 1/2 * sqrt (4p^2 + 16)

en

x = (-2p - sqrt (4p^2 + 16)) / 2 = -p - 1/2 * sqrt (4p^2 + 16)

omdat de y-coordinaten bij deze x-coordinaten zowel op fp(x) als 1/2x moeten liggen, moeten we deze x-coordinaten dus invullen en dan moeten daar gelijke y-coordinaten uitkomen. We beginnen met de eerste oplossing voor x:

invullen in 1/(2x) levert:

1 / (2 * (-p + 1/2 * sqrt (4p^2 + 16))) = 1 / (-2p + sqrt (4p^2+16)) --> (1)

nu invullen in fp(x):

-p + 1/2 * sqrt (4p^2 + 16) + p / ([-p + 1/2 * sqrt (4p^2 + 16)]² + 4)

gaan we verder uitwerken:

1/2 * sqrt (4p^2 + 16) / ([ p^2 - p * sqrt (4p^2 + 16) + 1/4 * (4p^2 + 16)] + 4)

=

1/2 * sqrt (4p^2 + 16) / ( p^2 - p * sqrt (4p^2 + 16) + p^2 + 8)

=

1/2 * sqrt (4p^2 + 16) / ( 2p^2 - p * sqrt (4p^2 + 16) + 8)

nu halen we de factor 1/2 voor de breuk en vermenigvuldigen we de 2 met de noemer:

sqrt ( 4p^2 + 16) / (2 * [ 2p^2 - p * sqrt (4p^2 + 16) + 8])

=

sqrt (4p^2 + 16) / (4p^2 - 2p * sqrt (4p^2 + 16) + 16)

we hebben nu onder de streep dus 4p^2 + 16 en een factor met sqrt 4p^2 + 16 en dus brengen we sqrt (4p^2 + 16) in de noemer buiten haakjes:

sqrt ( 4p^2 + 16) / sqrt (4p^2 + 16) * [sqrt ( 4p^2 + 16) - 2p]

we kunnen nu sqrt (4p^2 + 16) boven en onder de streep wegdelen en we houden over:

1 / ( sqrt (4p^2 + 16) - 2p) --> (2)

omdat (1) = (2) geldt dat de y-coordinaat voor dit x-coordtinaat op 1/(2x) ligt.

Hetzelfde bewijs volgens we bij het 2e snijpunt die ik nu niet helemaal zal uitwerken:

in 1/(2x): 1 / [-2p - sqrt (4p^2 + 16)] --> (3)

in fp(x):

-sqrt (4p^2 + 16) / (4p^2 + 16 + 2p * sqrt (4p^2 + 16))

=

-sqrt (4p^2 + 16) / sqrt (4p^2 + 16) * (sqrt (4p^2 + 16) + 2p)

=

-1 / (sqrt (4p^2 + 16) + 2p)

=

1 / (-sqrt(4p^2 + 16) - 2p) --> (4)

omdat (3) = (4) geldt dat ook de x-coordinaat van het 2e toppunt op 1/(2x) ligt.

[TD]

Hier de methode die ik in m'n eerste post aangaf, met de algebraïsche eliminatie.
Ik heb het voor één van de 2 oplossingen uitgewerkt en voor de eenvoud de kwadrateringsvoorwaarde achterwege gelaten (ik kwadrateer op een bepaald moment een wortelvergelijking, dit vergemakkelijkt de berekening aanzienlijk)

Stappen van gewoon rekenwerk zijn meestal weggelaten.

[sdekivit]

is ook een mogelijkhied

Okay thanks Ik ga het nu even bekijken, kijken of ik 't snap

[TD]

Als er een stap onduidelijk is laat je het maar horen, dan leg ik'em uit (of sdekivit mss )

Uhm... Ik snap nog steeds niet waarom x= +/- sqrt(p^2+4)-p

[TD]

Het komt erop neer de gemeenschappelijk factor 4 onder de wortel uit te halen, dat wordt dan 2: