Wiskundeprobleempjes (Analyse)

[wp160366]

Hallo,

Iemand die me met volgende opgaven kan helpen?

1.Zoek de punten op de kromme x^2-y^2=1 die het dichtst gelegen zijn bij het punt (0,1).

2.Bepaal de cartesische vergelijking van de rechte door het punt (3,4) die in het eerste kwadrant een driehoek met minimale oppervlakte bepaalt.

3.Zoek het punt op de X-as waarvoor de som van de afstanden tot (2,0) en (0,3) minimaal is.

Alvast bedankt voor de hulp,

[TD]

1) Ik zal dit oplossen als een extremumvraagstuk in één veranderlijke. Als je de methode van de multiplicatoren van Lagrange gezien hebt kan het ook anders.

Gebruik de formule voor afstand tussen 2 punten met het gegeven punt en een algemeen punt van de hyperbool.

d(P,Q) = Sqrt((x_p-x_q)²+(y_p-y_q)²)

Neem P = (0,1) en Q = (sqrt(y²+1),y), dan valt die wortel immers weg omdat je het verschil met 0 maakt voor de x-coördinaten. Overigens mag je evenzeer het kwadraat van de afstand minimaliseren, dan ben je ook van die wortel af. Dat geeft:

d²(P,Q) = ((0-sqrt(y²+1))²+(1-y)²) = 2y² - 2y + 2

Afleiden naar y geeft: 4y-2
Gelijkstellen aan 0 en oplossen naar y geeft: y = 1/2
Bijbehorende x-waarden (2 vermits symmetrie): +/- sqrt(5)/2.


2) De algemene vergelijking van een rechte door (3,4) is:
y-4 = m(x-3) <=>y = m(x-3) + 4

Hierin is m de richtingscoëfficiënt en onze onbekende parameter.
Voor de driehoek bepalen we de snijpunten met beide assen, dit zijn immers hoekpunten.

y = 0 => (3m-4)/m => ((3m-4)/m,0)
x = 0 => y = 4-3m => (0,4-3m)

Vermits dit een rechthoekige driehoek is wordt de oppervlakte gegevan door het product van deze verkregen hoogte en breedte, gedeeld door 2.

Opp = 1/2 (4-3m)(3m-4)/m = -(3m-4)²/(2m)

Afleiden naar m en gelijkstellen aan 0, daarna oplossen voor m levert:
(3m+4)(4-3m) = 0 <=> m = +/- 4/3

De positieve oplossing is hier uiteraard ongeldig (meetkundig eenvoudig te zien), alleen m = -4/3 sluit een keurige driehoek in het 1e kwadrant.


3) We gebruiken opnieuw de formule voor afstand tussen 2 punten:
d(P,Q) = Sqrt((x_p-x_q)²+(y_p-y_q)²)

Hier is P ons onbekend punt, P = (x,0)
Q is de eerste keer (2,0) en de tweede keer (0,3).

Gelukkig zoeken we de som van de kwadraten van de afstanden, de wortel valt weer weg.

d²(P,Q₁) = (x-2)²+(0-0)² = (x-2)²
d²(P,Q₂) = (x-0)²+(0-3)² = x²+9

d²(P,Q₁) + d²(P,Q₂) = 2x² - 4x + 13

Afleiden naar x, gelijkstellen aan 0 en oplossen geeft:
(2x² - 4x + 13)' = 0 <=> 4x-4 = 0 <=> x = 1

P = (1,0)

[wp160366]

Hallo,

Bedankt voor je oplosingen. De eerste had ik op exact dezelfde manier opgelost. De andere 2 had ik een paar rekenfoutjes gemaakt. Bedankt!

[TD]

Graag gedaan

De 2e opgave herkende ik trouwens, ooit zelf als oefening gehad

Aardige problemen, hopelijk krijg ik ook dit soort dingen op mijn eindexamen.

[TD]

Zeker leuke problemen.

Nog eentje in dit genre bijvoorbeeld, als je er een zonder de oplossing wil...

Bepaal het punt in het vlak met vergelijking 2x-y+2z = 16 dat het dichtste bij de oorsprong ligt.

TD schreef op 07-09-2005 @ 19:47 :
Zeker leuke problemen.

Nog eentje in dit genre bijvoorbeeld, als je er een zonder de oplossing wil...

Bepaal het punt in het vlak met vergelijking 2x-y+2z = 16 dat het dichtste bij de oorsprong ligt.

gradient van het vlak is (2,-1,2)

dus lijn door O die loodrecht op vlak staat heeft parametervoorstelling (2t, -t, 2t)

invullen in de vergelijking van het vlak geeft voor het snijpunt van deze lijn met vlak: 9t=16, ofwel t=16/9

dus we zochten het punt (32/9, -16/9, 32/9)

[TD]

Inderdaad, maar nu heeft snees er nog niets aan

Je kan het in ieder geval ook als een klassiek extremumvraagstuk oplossen, dan duurt het wat langer.
Als je inziet dat de afstand ("kortste weg") gegeven wordt door de loodrechte richting erop kan je direct de normaalvector gebruiken van het vlak en dan kom je tot de ietwat elegantere oplossing van hierboven.