Parameterkromme

[Porcelain]

In welke situaties gebruik je een parameterkromme? Wat is het verschil en de overeenkomst met gewone functies?

Ik moet zelf in een verslag iets uitleggen over parameterkrommen maar ik begrijp mijn boek niet, en ik kan op internet geen uitleg vinden.

Een functie voegt aan één of meer waarden, precies één waarde toe. Oftewel: je stopt er n getallen in en er komt precies één getal uit.

Een parameterkromme beschrijft een pad in een n-dimensionale vectorruimte, afhankelijk van één variabele. In 2D levert dit dus:

x = f(t)
y = g(t)

Het is goed mogelijk een parameterkromme te maken die niet beschreven kan worden met een functie. Kijk maar eens naar de parameterkromme in het x,y-vlak:

x = cos t
y = sin t

Met 0<=t<2*pi

Dit is een cirkel. Je kunt dit niet beschrijven met een functie y = f(x), omdat voor bijvoorbeeld x = 0, er 2 verschillende mogelijke y-waarden zijn (namelijk y=1 en y=-1) en dat mag niet als je een functie hebt, want zoals hierboven gesteld levert een functie y=f(x) voor iedere x-waarde (waar de functie is gedefinieerd) precies één y-waarde.

[Porcelain]

Het blijft allemaal zo vaag. Kun je misschien een concreter voorbeeld geven, want ik kan me er zo weinig mee voorstellen. Ik zie ook cirkels in mijn boek getekend staan, maar in welke situatie heb je nu zo'n parameterkromme nodig?

Een parameterkromme heb je 'nodig' als je in het x,y-vlak bijvoorbeeld meerdere 'lijnen' boven elkaar hebt, simpel gezegd.

[Keith]

Met andere woorden die niet per se beter of duidelijker zijn: je ehbt een parameterkromme nodig als van twee variabelen je niet kan zeggen dat eentje afhankelijk is van de ander, maar dat ze allebei afhankelijk zijn van een derde variabele.

[TD]

Porcelain schreef op 14-11-2005 @ 12:49 :
Het blijft allemaal zo vaag. Kun je misschien een concreter voorbeeld geven, want ik kan me er zo weinig mee voorstellen. Ik zie ook cirkels in mijn boek getekend staan, maar in welke situatie heb je nu zo'n parameterkromme nodig?

Vaak worden problemen eenvoudiger als je overgaat op parametervoorstelling, in zo'n gevallen is het dus niet 'nodig' maar wel handig als je overgaat naar parametervorm.
Dat kan zijn van vraagstukjes in de (ruimte)meetkunde waar je makkelijk met parametervergelijkingen kan werken tot bijvoorbeeld het uitrekenen van een lijnintegraal waar parametrisatie van je kromme vaak nodig is.

[Keith]

Lissajou figuren lijken mij het duidelijkste voorbeeld. Stel dat je iets hebt dat in y richting met een bepaalde frequentie trilt en in x richting op een andere, als je dan wilt weten wat voor baan dat ding beschrijft of hoe lang de afgelegde weg in een bepaald t ijdsinterval is heb je het nodig.

[Porcelain]

Het wordt al duidelijker, maar..

Is het waar dat wanneer je tegen een poolbal stoot, en deze volgt een bepaalde weg binnen de pooltafel, je de pooltafel zou kunnen zien als assenstelsel en de weg die de bal aflegt als de lijn daarin?

Dat zei een klasgenoot tegen me, maar het leek me zo simpel.

Porcelain schreef op 15-11-2005 @ 18:24 :
Het wordt al duidelijker, maar..

Is het waar dat wanneer je tegen een poolbal stoot, en deze volgt een bepaalde weg binnen de pooltafel, je de pooltafel zou kunnen zien als assenstelsel en de weg die de bal aflegt als de lijn daarin?

Ja.

[TD]

Waarom zou je de pooltafel (en ik neem aan dat je de randen bedoelt, althans twee aanliggende) niet als assenstelsel mogen gebruiken?
Uiteraard gaat die bal een baan beschrijven (en tenzij er geen botsingen met de wanden zijn zal dit niet enkel één lijn zijn...) die je dan kan uitdrukken in zo'n assenstelsel.

[Porcelain]

Ja, tuurlijk, maar het is niet zo logisch dat de weg die die bal aflegt precies gelijk loopt met de lijn die in dat assenstelsel komt. Althans, niet voor mij :/

Porcelain schreef op 17-11-2005 @ 11:20 :
Ja, tuurlijk, maar het is niet zo logisch dat de weg die die bal aflegt precies gelijk loopt met de lijn die in dat assenstelsel komt. Althans, niet voor mij :/

Wat is daar niet logisch aan? Je kunt alle lijnen definiëren die je wilt.

[TD]

Porcelain schreef op 17-11-2005 @ 11:20 :
Ja, tuurlijk, maar het is niet zo logisch dat de weg die die bal aflegt precies gelijk loopt met de lijn die in dat assenstelsel komt. Althans, niet voor mij :/

Misschien doel je op wat je als de 'ideale baan' zou kunnen voorspellen, rekening houdend met gelijke invals- en terugkaatsingshoeken enz. In benadering zal de bal zo inderdaad gaan, maar zoals je zelf al aanvoelt zal dat niet perfect gaan. Je oppervlak is immers niet perfect homogeen, er is wrijving, ... Uiteraard komt de bal daardoor ook tot stilstaand, wrijving, luchtweerstand etc.

TD schreef op 17-11-2005 @ 17:23 :
Misschien doel je op wat je als de 'ideale baan' zou kunnen voorspellen, rekening houdend met gelijke invals- en terugkaatsingshoeken enz. In benadering zal de bal zo inderdaad gaan, maar zoals je zelf al aanvoelt zal dat niet perfect gaan. Je oppervlak is immers niet perfect homogeen, er is wrijving, ... Uiteraard komt de bal daardoor ook tot stilstaand, wrijving, luchtweerstand etc.

Kunnen we dit forum niet ontoegankelijk maken voor die ellendige technici?

[TD]

[Keith]

Een luchtweerstand en rolwrijving zullen de bal niet doen afwijken van een rechte lijn, ze zullen de snelheid alleen verminderen. Pas als de bal met effect wordt gespeeld of er (grote) verschillen zijn in de weerstand van het oppervlak zal de bal niet meer in een rechte lijn gaan.

En wat is er mis met technici? Dacht dat jij er ook een ging worden?

Nee, al die nare randverschijnselen als wrijving, weerstand, daar word je toch niet gelukkig van? Waarom moet je die zuivere wiskunde kapot maken? :*(

[Keith]

De zuivere wiskunde KAPOT maken? De wiskunde wordt enkel uitgebreid en nog mooier gemaakt! Alles dat werkelijk is, is wiskundig! Alles dat niet kan worden omschreven door wiskunde is vervuild door de inferieure vrije wil van de mens.

Keith schreef op 17-11-2005 @ 22:19 :
De zuivere wiskunde KAPOT maken? De wiskunde wordt enkel uitgebreid en nog mooier gemaakt! Alles dat werkelijk is, is wiskundig! Alles dat niet kan worden omschreven door wiskunde is vervuild door de inferieure vrije wil van de mens.

Met zo'n stichtelijke uitspraak kunnen we dit topic wel sluiten

[Porcelain]

O.k., deel 1 van verslag is er, maar nu verder. Mijn boek en internet kunnen ons niks vertellen over de eigenschappen van parameterkrommen, dus kan iemand ons misschien helpen met:
-Snijpunten van parameterkrommen met de y- en x-as (hoe vind je die?)
-De uiterste waarden van een parameterkromme (omkeerpunten)
-Snijpunten van een parameterkromme met zichzelf (dubbelpunten) (hoe vind je die?)
-De hoek waaronder een kromme zichzelf snijdt.

Of weet iemand misschien een goed hulpmiddel waarmee we er zelf achter kunnen komen?

-Snijpunten van parameterkrommen met de y- en x-as (hoe vind je die?)

Stel: je hebt een parameterkromme van de vorm:

y=y(t)
x=x(t)

Dan is een snijpunt met de y-as de oplossing van de vergelijking x(t)=0 (analoog voor x-as)

-De uiterste waarden van een parameterkromme (omkeerpunten)

Dit zegt me niets, definieer eens.

-Snijpunten van een parameterkromme met zichzelf (dubbelpunten) (hoe vind je die?)

Goede vraag... ik zal er eens over nadenken.

-De hoek waaronder een kromme zichzelf snijdt.

Bereken in het snijpunt dy/dx voor beide lijnen, daaruit is de hoek af te leiden.

[Porcelain]

Dankjewel.

Maar..

Bij x=cos(t), y=sin(t) liggen de snijpunten met de assen op x=-1, x=1, y=-1 en y=1. Toch?

Maar als je cos(t)=0 gaat oplossen kom je uit op Pi/2+ kPi. En sin(t)=0 wordt Pi+kPi. Lossen wij nou het verkeerde op? Want daaruit kunnen wij niet opmaken waar het punt ligt.

De uiterste waarden van een parameterkromme. Dat is zoiets als het domein en bereik, maar dan bij een parameterkromme: de maximale 'hoogte' waarop ie komt, en de maximale 'breedte'. Geen idee hoe ik dit verder netjes wiskundig kan zeggen.

Porcelain schreef op 19-11-2005 @ 17:23 :
Dankjewel.

Maar..

Bij x=cos(t), y=sin(t) liggen de snijpunten met de assen op x=-1, x=1, y=-1 en y=1. Toch?

Maar als je cos(t)=0 gaat oplossen kom je uit op Pi/2+ kPi. En sin(t)=0 wordt Pi+kPi. Lossen wij nou het verkeerde op? Want daaruit kunnen wij niet opmaken waar het punt ligt.

De gevonden waarden voor t invullen in de vergelijkingen levert de goede waarden. Je berekent namelijk de waarden van t, waarvoor geldt dat x, resp. y gelijk is aan nul.

De uiterste waarden van een parameterkromme. Dat is zoiets als het domein en bereik, maar dan bij een parameterkromme: de maximale 'hoogte' waarop ie komt, en de maximale 'breedte'. Geen idee hoe ik dit verder netjes wiskundig kan zeggen.

Je zou bijvoorbeeld dy/dx kunnen bepalen en kijken waar dy/dx nul is en waar dy/dx plus of min oneindig is (cq. dx/dy =0). Dit werkt echter alleen bij continue krommen.

[mathfreak]

Porcelain schreef op 19-11-2005 @ 16:50 :

-Snijpunten van een parameterkromme met zichzelf (dubbelpunten) (hoe vind je die?)

Uit x=f(t) en y=g(t) volgt dat een dubbelpunt (x,y) moet voldoen aan x(t)=x(t') en y(t)=y(t').
Volledigheidshalve zal ik ook even aangeven hoe je de eventuele asymptoten bij een parameterkromme kunt vinden. Indien x(t) voor een bepaalde waarde van t naar plus of min oneindig gaat, en y(t) naar a gaat, dan is y=a een horizontale asymptoot. Indien y(t) voor een bepaalde waarde van t naar plus of min oneindig gaat, en x(t) naar b gaat, dan is x=b een vertikale asymptoot.
Uit x=f(t) en y=g(t) volgt dat een omkeerpunt (x,y) moet voldoen aan x'(t)*y"(t)=x"(t)*y'(t), ofwel x'(t)/y'(t)=x"(t)/y"(t), waarbij x"(t) de tweede afgeleide van x(t) en y"(t) de tweede afgeleide van y(t) voorstelt.

[Keith]

Voor een omkeer punt moet je gewoon de (lokale) maxima voor x en voor y vinden, voor elke t die zovel een maximum voor x als voor y geeft heb je een omkeerpunt.

Ik snap dat ditr overeenkomt met wat je zegt mathfreak, maar volgens mij is zo WAT je doet veel duidelijk, jij vertelt vnl. HOE je het doet.

Porcelain schreef op 19-11-2005 @ 17:23 :
Maar als je cos(t)=0 gaat oplossen kom je uit op Pi/2+ kPi. En sin(t)=0 wordt Pi+kPi. Lossen wij nou het verkeerde op? Want daaruit kunnen wij niet opmaken waar het punt ligt.

Je parameterkromme is wellicht gegeven voor a<t<b, daaruit kan je bij een antwoord in de vorm van t = c + kpi het aantal antwoorden dat van belang is beperken tot die antwoorden waar a<t<b.