[wis] Buigpunt

[Heksjuh]

Het is misschien een lange berekening, maar ik zou het fijn vinden als iemand 'm wil nakijken.
Ik heb overal ex staan, maar dat moet eigenlijk zijn e^x.

f(x) = (ex-p)(ex-1)
Bij welke waarden van p voldoet f(x) aan de volgende twee eisen:
1. f(x) heeft een buigpunt
2. in dat buigpunt geldt dat x en y beide negatief zijn.

Ik bereken eerst de afgeleide en de tweede afgeleide:
f(x) = (ex-p)(ex-1)
f ‘(x) = ex(ex-1) + (ex-p) ex
f “(x) = ex(ex-1)+ ex* ex + ex* ex + ex(ex-p)
= (ex)^2 - ex + (ex)^2 + (ex)^2 + (ex)^2 - pex
= 4(ex)2 – ex - pex
= ex(4ex – 1 – p)

In een buigpunt is de tweede afgeleide 0, dus:
ex(4ex – 1 – p) = 0
ex = 0 of 4ex – 1 – p
ex is nooit 0, dus 4ex – 1 – p
4ex – 1 = p
4ex = p + 1
ex = (p+1)/4
x = ln ((p+1)/4)

ln kan niet van een negatief getal of van 0, dus (p+1)/4 >0.
x<0, (p+1)/4 < 1
Dus p>-1, want –1+1 = 0, 0/4 = 0
p<3, want (3+1)/4 = 1

Dus x is negatief als 3>p<-1
ex is dan kleiner dan 1, dus ex – 1 is dan negatief en f(x) is negatief. Maar dat kan alleen als ex-p positief is. Als p 1 is of >1, dan is ex-p ook negatief en f(x) is dan positief. Dus p is kleiner dan 0, maar groter dan –1.

Dus de functie voldoet aan beide voorwaarden als geldt 0>p>-1.

[mathfreak]

Heksjuh schreef op 03-04-2007 @ 19:23 :
Het is misschien een lange berekening, maar ik zou het fijn vinden als iemand 'm wil nakijken.
Ik heb overal ex staan, maar dat moet eigenlijk zijn e^x.
*ik maak hier even e^x van*
f(x) = (e^x-p)(e^x-1)
Bij welke waarden van p voldoet f(x) aan de volgende twee eisen:
1. f(x) heeft een buigpunt
2. in dat buigpunt geldt dat x en y beide negatief zijn.

Ik bereken eerst de afgeleide en de tweede afgeleide:
f(x) = (e^x-p)(e^x-1)
f ‘(x) = e^x(e^x-1) + (e^x-p) e^x
f “(x) = e^x(e^x-1)+ e^x* e^x + e^x* e^x + e^x(e^x-p)
= (e^x)^2 - e^x + (e^x)^2 + (e^x)^2 + (e^x)^2 - pe^x
= 4(e^x)2 – e^x - pe^x
= e^x(4e^x – 1 – p)

In een buigpunt is de tweede afgeleide 0, dus:
e^x(4e^x – 1 – p) = 0
e^x = 0 of 4e^x – 1 – p = 0
e^x is nooit 0, dus 4e^x – 1 – p = 0
4e^x – 1 = p
4e^x = p + 1
e^x = (p+1)/4
x = ln ((p+1)/4)

ln kan niet van een negatief getal of van 0, dus (p+1)/4 >0.
x<0, (p+1)/4 < 1
Dus p>-1, want –1+1 = 0, 0/4 = 0
p<3, want (3+1)/4 = 1

Dus x is negatief als 3>p<-1
e^x is dan kleiner dan 1, dus e^x – 1 is dan negatief en f(x) is negatief. Maar dat kan alleen als e^x-p positief is. Als p 1 is of >1, dan is e^x-p ook negatief en f(x) is dan positief. Dus p is kleiner dan 0, maar groter dan –1.

Dus de functie voldoet aan beide voorwaarden als geldt 0>p>-1.

3>p<-1 zou betekenen dat p>3 en p<-1 moet zijn. Wat je uiteraard bedoelt is dat uit p>-1 en p<3 volgt dat -1<p<3.
Omdat e^x=(p+1)/4 de voorwaarde is voor het buigpunt geldt: f(x)=((p+1)/4-p)((p+1)/4-1)<0, dus (p+1)/4-p>0 en (p+1)/4-1<0 of (p+1)/4-p<0 en (p+1)/4-1>0, dus (p+1)/4>p en (p+1)/4<1 of (p+1)/4<p en (p+1)/4>1, dus p+1>4*p en p+1<4 of p+1<4*p en p+1>4, dus 3*p<1 en p<3 of 3*p>1 en p>3, dus p<1/3 en p<3, dus p<1/3, of p>1/3 en p>3, dus p>3, dus p<1/3 of p>3.
Uit x<0 en e^x=(p+1)/4 volgt: x=ln((p+1)/4), dus (p+1)/4>0 en (p+1)/4<1, dus p+1>0 en p+1<4, dus p>-1 en p<3.
Voor x<0 en f(x)<0 moet dus worden voldaan aan -1<p<3 en p<1/3, dus voor p moet gelden: -1<p<1/3.

[Supersuri]

[QUOTE]mathfreak schreef op 04-04-2007 @ 19:35 :
[B]
0>p>-1 zou betekenen dat p>0 en p>-1 moet zijn. Wat je uiteraard bedoelt is dat uit p<0 en p>-1 volgt: -1<p<0.

Het betekend dat 0>p -> p<0, Dus klopt wel.

0>p>-1 = -1<p<0

In beide gevallen zie je dat p tussen 0 en -1 zit.

[Heksjuh]

Ik probeerde p meer te redeneren toen ik eenmaal had dat p>-1 en p<3. Maar ik volg de berekening en snap de uiteindelijke uitkomst. Bedankt

[mathfreak]

[QUOTE]Supersuri schreef op 04-04-2007 @ 20:13 :
[B]

mathfreak schreef op 04-04-2007 @ 19:35 :

0>p>-1 zou betekenen dat p>0 en p>-1 moet zijn. Wat je uiteraard bedoelt is dat uit p<0 en p>-1 volgt: -1<p<0.

Het betekend dat 0>p -> p<0, Dus klopt wel.

0>p>-1 = -1<p<0

In beide gevallen zie je dat p tussen 0 en -1 zit.

Het klopt inderdaad, maar het is gebruikelijker om -1<p<0 als notatie te gebruiken.