[Wi] Bewijs dat de limiet ook de limiet is.

[DZHAW]

Hey. Ik probeer net deze som te maken:

Bewijs met behulp van de definitie dat lim(x->1) (x^2)/(x-2)=-1

Dus:

0< |x-1|<d --> | (x^2)/(x-2) + 1 | < e

Maar nu moet ik die delta (d), op een of andere manier uitdrukken in epsilon (e). Het hoeft niet perce de groots mogelijke delta te zijn, dus een beetje 'afschatten', zoals het bij ons genoemd wordt mag.

In het algemeen vind ik het lastig om met absoluuttekens te werken.

Alleen al om|x-1|<d te herschrijven tot: |x|<....

Want:
|x-1|< d
-d < x-1< d
-d+1 < x < d+1

En nu..? Of moet ik gewoon met -d +1 rekenen, omdat |d+1|>|-d+1|

Misschien is het ook niet nodig... vertel het me

[mathfreak]

DZHAW schreef op 07-11-2004 @ 19:19 :
Hey. Ik probeer net deze som te maken:

Bewijs met behulp van de definitie dat lim(x->1) (x^2)/(x-2)=-1

Dus:

0< |x-1|<d --> | (x^2)/(x-2) + 1 | < e

Maar nu moet ik die delta (d), op een of andere manier uitdrukken in epsilon (e). Het hoeft niet per se de grootst mogelijke delta te zijn, dus een beetje 'afschatten', zoals het bij ons genoemd wordt mag.

In het algemeen vind ik het lastig om met absoluuttekens te werken.

Alleen al om|x-1|<d te herschrijven tot: |x|<....

Want:
|x-1|< d
-d < x-1< d
-d+1 < x < d+1

En nu..? Of moet ik gewoon met -d +1 rekenen, omdat |d+1|>|-d+1|

Misschien is het ook niet nodig... vertel het me

Herschrijf x²/(x-2)+1 als x²/(x-2)+(x-2)/(x-2)=(x²+x-2)/(x-2)
=(x-1)(x+2)/(x-2), dus |(x-1)(x+2)/(x-2)|<e.
Kies x=d, dan geldt: |(d-1)(d+2)/(d-2)|<e. Er geldt: e>0,
dus 0<|(d-1)(d+2)/(d-2)|<e. Kies d=1/2*e, dan wordt hier zeker aan voldaan.

[DZHAW]

mathfreak schreef op 07-11-2004 @ 21:33 :
Herschrijf x²/(x-2)+1 als x²/(x-2)+(x-2)/(x-2)=(x²+x-2)/(x-2)
=(x-1)(x+2)/(x-2), dus |(x-1)(x+2)/(x-2)|<e.
Kies x=d, dan geldt: |(d-1)(d+2)/(d-2)|<e. Er geldt: e>0,
dus 0<|(d-1)(d+2)/(d-2)|<e. Kies d=1/2*e, dan wordt hier zeker aan voldaan.

Waarom kies je x=d?

En hoe kan je dan d uitdrukken in e?
Ik zie dat je d=1/2*e kiest, maar waarom kies je d zuist zo. Is dit te berekenen?

[edit]

kies je x=d, omdat |x-1| < d ????

[DZHAW]

Nog zon vraag:
lim(x->1) 1/(2-x)=1

|x-1|<d

|1/(2-x) -1 | < e

|1/(2-x) - (2-x)/(2-x) | < e

|(x-1) / (2-x)| < e

Verder kom ik niet.
Eingelijk wil ik het laatste nu omschrijven naar ...< x < ....

Omdat ik |x-1|<d ook zo kan omschrijven. Zo kan ik dan dus d in e uitdrukken. Maar ik heb nu best veel sommen geprobeert, en ik kom altijd hier vast te zitten. Hoe los je dit in het algemeen op? |x-1| komt nu toevallig zowel bij de d als bij de e voor, maar dit is niet noodzakelijk.

[mathfreak]

DZHAW schreef op 07-11-2004 @ 21:38 :
Waarom kies je x=d?

Er moet gelden: |x-1|<d, en voor x=d is daar zeker aan voldaan.

DZHAW schreef op 07-11-2004 @ 21:38 :

Ik zie dat je d=1/2*e kiest, maar waarom kies je d zuist zo. Is dit te berekenen?

In principe wel. Je weet dat geldt: |(d-1)(d+2)/(d-2)|<e. Als je d=1/2*e kiest weet je zeker dat aan |(d-1)(d+2)/(d-2)|<e is voldaan.

DZHAW schreef op 08-11-2004 @ 13:52:
Nog zo'n vraag:
lim(x->1) 1/(2-x)=1

|x-1|<d

|1/(2-x) -1 | < e

|1/(2-x) - (2-x)/(2-x) | < e

|(x-1) / (2-x)| < e

Verder kom ik niet.
Eingelijk wil ik het laatste nu omschrijven naar ...< x < ....

Omdat ik |x-1|<d ook zo kan omschrijven. Zo kan ik dan dus d in e uitdrukken. Maar ik heb nu best veel sommen geprobeert, en ik kom altijd hier vast te zitten. Hoe los je dit in het algemeen op? |x-1| komt nu toevallig zowel bij de d als bij de e voor, maar dit is niet noodzakelijk.

Kies opnieuw x=d, dan geldt: |(d-1)/(2-d)|=|-(d-1)/(d-2)|=|(d-1)/(d-2)|<e. Kies d=e,dan is hier zeker aan voldaan.
In het algemeen geldt: als b de limiet van f(x) voor x naderend tot a is, dan is er voor iedere e>0 een d>0 te vinden met de eigenschap
0<|x-a|<d => |f(x)-b|<e. Je gaat dus uit van een gegeven e>0 en probeert daarvoor een geschikte d>0 te vinden die aan de gegeven eigenschap voldoet.

[DZHAW]

mathfreak schreef op 08-11-2004 @ 20:22 :

Kies opnieuw x=d, dan geldt: |(d-1)/(2-d)|=|-(d-1)/(d-2)|=|(d-1)/(d-2)|<e. Kies d=e,dan is hier zeker aan voldaan.
In het algemeen geldt: als b de limiet van f(x) voor x naderend tot a is, dan is er voor iedere e>0 een d>0 te vinden met de eigenschap
0<|x-a|<d => |f(x)-b|<e. Je gaat dus uit van een gegeven e>0 en probeert daarvoor een geschikte d>0 te vinden die aan de gegeven eigenschap voldoet.

kies d=e.

e>0, dus bijvoorbeeld 2,5

Als ik nu d=e kies, dan krijg ik: |1,5/0,5|=3. En dat is zeker niet kleiner dan e.

[mathfreak]

DZHAW schreef op 08-11-2004 @ 20:31 :
kies d=e.

e>0, dus bijvoorbeeld 2,5

Als ik nu d=e kies, dan krijg ik: |1,5/0,5|=3. En dat is zeker niet kleiner dan e.

Er wordt verondersteld dat d en e positieve getallen zijn die dicht bij nul liggen, dus zeg van de vorm 10^-n, waarbij n een natuurlijk getal is.

[DZHAW]

Oke... als dit idd voldoende is, weet ik nu ook waarom ik steeds vast kwam te zitten. Ik zocht namelijk naar antwoord die voor elke e klopte.