wiskunde: ruimtemeetkunde

[moondancer]

gegeven: $ (vlak alfa): 3x-2y+z+4=0
A: 3x-y+2z-5=0
x+y+4z+7=0
gevraagd: de coordinaten van de projectie van het punt p(-5,-8,4)op $ (vlak alfa) en evenwijdig aan A



ik heb met de vergelijkingen van A een stel richtingsgetallen van A berekent en hiermee de vergelijking van A' berekent.
hierna heb ik de parametervergelijkingen samen met de vergelijking van het vlak in een stelsel gebracht.
mijn oplossing is dan : p' (4,7,-2)

mijn vraag is nu: klopt dit?? want ik ben niet helemaal zeker dat ik wel de juiste manier heb gevolgd..

alvast bedankt!!
xx



owja ik heb een tweede opgave:
gegeven: $ (vlak alfa): 2x+y+9z-5=0
A: x-y+4z+6=0
x+2y+3z+1=0

gevraagd: de coordinaten van de projectie van p(2,-6,-1) op A evenwijdig aan $ (vlak alfa)


moet ik dit nu op dezelfde manier oplossen?? want ik ben een beetje in de war met dat bij de eerste de projectie op het vlak is en hier de projectie op de rechte is.....

xx

[Tampert]

moondancer schreef:
gegeven: $ (vlak alfa): 3x-2y+z+4=0
A: 3x-y+2z-5=0
x+y+4z+7=0
gevraagd: de coordinaten van de projectie van het punt p(-5,-8,4)op $ (vlak alfa) en evenwijdig aan A

stelsel oplossen:

 3x   -y+2z -5=0
   x  +y+4z+7=0
(ik doe dat altijd in matrixform)

(3 -1 2 |  5)
(1  1 4 | -7)

Onderste vergelijkingdrie maal van de bovenste aftrekken geeft:
(0 -4 -4 |  26)
(1  1  4 |   -7)
Bovenste éénmaal optellen bij de onderste geeft:
(0 -4 -4 |  26)
(1  -3 0 |  19)

dus
      -4y-4z = 26  
    x-3y       =19

Nu kies je y vrij. Noem deze vrije variabele bijvoorbeeld B.

Dan geldt:
z = -6,5-  B
x= 19   +3B

Dus de vectorvoorstelling van de lijn wordt voorgesteld door:

(-6,5-B)
(        B)
(19+3B)

of (hergeschreven)
(-6,5)        (-1 )
(  0  ) + B*( 1 )
( 19 )        ( 3 )


Je zoekt een lijn evenwijdig hieraan. 
Dat betekent dat die dezelfde richtingscoëfficient moet hebben. 
Bovendien is het de projectie van een punt. Je zoekt dus een lijn 
door (-5,-8,4) met Rico B*(-1, 1, 3) (andere notatie van 
bovenstaand). Dé lijn die hiervoor in aanmerking komt is 
natuurlijk:

( -5 )        (-1 )
( -8 ) + B*( 1 )
(  4 )        ( 3 )

je kunt dit weer terugschrijven naar een vergelijking voor een lijn:

z = -5  - B
y=  -8 + B
x= 19 +3B

we kiezen voor het genmak y=C (dus C=-8+B en B = 8+C)dan geldt:

z =  -5    -(8+C)
y =  -8+   (8+C)
x = 19+ 3(8+C)

z = -13    -C
y =           C
x =   43+3C

Dus (herschrijven van C => y:
-x  +3y      = -43
        -y  -z =  13
en uiteindelijk:

-x  +3y       +43 = 0
        -y  -z   -13 = 0

oww. ik zie dat je nu nog die vergelijkingen in je vlak moet invullen om t kijken of het echt klopt (de vergeljkingen voor x, y en z invullen in de vergelijking van het vlak)

maar ik moet nu koken dus ik hoop je geholpen te hebben