[Wiskunde] Complexe Getallen

ik snap niet hoe dit soort sommen aangepakt moeten worden:

{z element van C| 1 <= |z+2-i| <= 2}

{z element van C| z + z^_=zz^_}

z^_ is een z met een streepje erboven ( netzoals bij vectoren)

{z element van C|z+1-2i|=|z-3|}

ik heb effe 3 sommen gepakt. Misschien kan ik zelf verder als ik weet hoe deze 3 moeten.

alvast bedankt!

[TD]

Er ontbreekt een vraag...

Probeer het bijvoorbeeld meetkundig voor te stellen, of vervang z door x+iy en werk algebraisch verder uit.

Voor die tweede kan je bijvoorbeeld zo te werk gaan, stel z=a+ib.
(a+ib) + (a-ib) = 2a = (a+ib)(a-ib) = a² + b². Dat levert je een gebied op C op.

ja vraag zou moeten zijn, teken in het complexe vlak de volgende verzamelingen.

ik probeer de eerste ff.

{z element van C| 1 <= |z+2-i| <= 2}

x+yi+2-i=x+2+i(y-1)

srt((x+2)²+(y-1)²) nou dit is dan de modulus.

zo ver kwam ik al maar weet niet hoe ik daarna verder moet.

snees i know, verder?

[TD]

Kwadrateren geeft dan het gebied tussen 1 en 4 (resp 1² en 2² dus), de gelijkheden geven 2 cirkels die het gebied omsluiten. Alleen nog checken aan welke kant van de cirkels de ongelijkheid geldt.

nope ik vat hem niet. zal vast wel iets simpels zijn.

[TD]

Wat begrijp je niet?

je zegt gelijkheden geven 2 parabolen, je bedoelt vast (x+3)^2 en die (y-2)^2 maar hoe moet ik nu tekenen?
wel heel erg bedankt dat je met goed probeert uit te leggen

[TD]

Ach, vergeef me m'n verstrooidheid, het gaat om cirkels natuurlijk! Nee, ik heb het niet over het gedeelte in x en in y afzonderlijk. We hebben:

1 ≤ √((x + 2)² + (y - 1)²) ≤ 2
1² ≤ ((x + 2)² + (y - 1)²) ≤ 2²
1 ≤ (x + 2)² + (y - 1)² ≤ 2

Door de ongelijkheden krijg je natuurlijk (mogelijk) een gebied, maar de gelijkheden geven de rand aan. We bekijken de gelijkheden:

(x + 2)² + (y - 1)² = 1 en (x + 2)² + (y - 1)² = 2

Dit zijn twee cirkels met beide middelpunt (-2,1) en respectievelijk straal 1 en sqrt(2).

Deze 2 concentrische cirkels verdelen het vlak in 3 delen (buiten de grootste cirkel, binnen de kleinste en ertussen). Wat je nu nog moet nagaan (maar dat zal logisch zijn) is welk gebied hier beschreven wordt door de ongelijkheden.

Nu je het resultaat kent, zie je de link met het oorspronkelijk probleem in z, en zou je nu een analoog probleem kunnen oplossen zonder over te gaan op x en y?

[mathfreak]

Kadinimben schreef op 03-05-2006 @ 16:50 :
ik snap niet hoe dit soort sommen aangepakt moeten worden:

{z element van C| 1 <= |z+2-i| <= 2}

{z element van C| z + z^_=zz^_}

z^_ is een z met een streepje erboven ( netzoals bij vectoren)

{z element van C|z+1-2i|=|z-3|}

ik heb effe 3 sommen gepakt. Misschien kan ik zelf verder als ik weet hoe deze 3 moeten.

alvast bedankt!

De eerste is al besproken door TD. Stel z=x+i*y, dan geldt: z+z^_=2*x en z*z^_=x²+y², dus er moet gelden: x²+y²=2*x, dus x²+y²-2*x=0. Er geldt: x²-2*x=x²-2*x+1-1=(x-1)²-1, dus x²+y²-2*x=0 geeft dan: (x-1)²-1+y²=0, dus (x-1)²+y²=1. Meetkundig stelt dit een cirkel met middelpunt (1,0) en straal 1 voor.
Stel z=x+i*y, dan geldt: z+1-2*i=x+1+i(y-2) en z-3=x-3+y*i, dus |z+1-2*i|=|x+1+i(y-2)|=sqrt[(x+1)²+(y-2)²] en |z-3|=|x-3+y*i|=sqrt[(x-3)²+y²], dus sqrt[(x+1)²+(y-2)²]=sqrt[(x-3)²+y²], dus (x+1)²+(y-2)²=(x-3)²+y², dus x²+2*x+1+y²-4*y+4=x²-6*x+9+y², dus 8*x-4*y-4=0, dus 2*x-y-1=0, dus y=2*x-1. De gezochte puntverzameling is dus de lijn y=2*x-1.

ok, ik denk dat ik het snap nu. teminste als TD een foutje heeft gemaakt.

waarom is de straal van tweede cirkel sqrt(2)?
1 ≤ √((x + 2)² + (y - 1)²) ≤ 2

straal moet dus 2 zijn toch?


TD en Mathfreak, beide heel erg bedankt.

[TD]

Juist, ik zat met die oorspronkelijke 2 in m'n hoofd, na kwadrateren wordt dat 4 zodat in die vergelijking van de cirkel r² = 4, dus r is inderdaad 2.

kadinim ben schreef op 03-05-2006 @ 17:24 :

snees i know, verder?

a->x en b->y, dan:

x² + y² = 2x
y = sqrt(2x-x²)

Let op: x en y zijn reëel, hou daar rekening mee met de wortelfunctie.