[wi] Errorfuntie

Wie kan mij vertellen wat een errorfunctie precies is en waar het voor gebruikt wordt en waar het vandaan komt want dat snap ik niet helemaal

[mathfreak]

renee182 schreef op 03-02-2005 @ 19:22 :
Wie kan mij vertellen wat een errorfunctie precies is en waar het voor gebruikt wordt en waar het vandaan komt want dat snap ik niet helemaal

De errorfunctie erf(x) is een functie, waarvan de afgeleide gelijk is aan
2*e^-x²/sqrt(pi). Deze functie heeft de machtreeks
2/sqrt(pi)(x-x³/(1!*3)+x⁵(2!*5)-...+...(-1)ⁿ*x^2*n+1/(n!*[2*n+1])+...). Het gaat hier om een functie, die niet door middel van integratie met behulp van elementaire functies, maar alleen door middel van integratie met behulp van (macht)reeksontwikkelingen kan worden verkregen.
Als fi(x) de verdelingsfunctie bij de standaard normale verdeling voorstelt, dan geldt: erf(x)=2*fi(x*sqrt(2))-1.

[GinnyPig]

Zoals mathfreak al zei is de afgeleide van de errorfunctie (Erf[x]) een bekende functie:e[/sup]-x^2[/sup]. De errorfunctie zelf is dus de integraal van die functie:



Let erop dat de waarde x (of z zoals hierboven) bepaalt welke grenswaarde je bij de integraal invult. Een belangrijke eigenschap van de integraal is dat deze niet exact te bepalen is. Er bestaat tenslotte geen primitieve voor e^{-x^2}. Daarom bestaan er wat benaderingsmethodes om de integraal te schatten, zoals de machtreeksmethode en herhaald partieel integreren.

Al met al is de functie dus een verkorte manier om een niet-exact oplosbare integraal op te schrijven. En die integraal komt o.a. veel voor bij de normale verdeling.

Dat had ik inderdaad ook al in een wiskunde boek gevonden. Maar waar komt het dan vandaan waarom zou je dat ding willen gebruiken. Want die integraal is wel super specifiek. Toch??? En Mathfreak wat bedoel je met die fi(..)

[mathfreak]

renee182 schreef op 05-02-2005 @ 18:09 :
Dat had ik inderdaad ook al in een wiskunde boek gevonden. Maar waar komt het dan vandaan waarom zou je dat ding willen gebruiken. Want die integraal is wel super specifiek. Toch??? En Mathfreak wat bedoel je met die fi(..)

Je zou de errorfunctie erf(x) kunnen opvatten als de oplossing van de differentiaalvergelijking dy/dx=2*e^-x²/sqrt(pi), waarbij y de gezochte functie erf(x) voorstelt. De errorfunctie kan ook worden opgevat als de oplossing van een hypergeometrische differentiaalvergelijking, een bepaald type differentiaalvergelijking van de tweede orde, die een bepaald type functie (een hypergeometrische functie) als oplossing heeft. Zie in dat verband ook http://mathworld.wolfram.com/Erf.html
De functie fi(x) stelt de verdelingsfunctie bij de standaard normale verdeling (een normale verdeling met gemiddelde 0 en standaardafwijking 1) voor. Voor nadere details verwijs ik je naar een leerboek over (mathematische) statistiek.