Wiskunde, goniometrie

[TnD]

Gegeven is de kromme K
x = sin (t + 1/4 pi)
y = sin 2t

En 'n grafiek.. maar voor mijn vraag is ie niet van toepassing..

vraag b) Bij K hoort een formule van de vorm y = px²+q
Uit de grafiek viel af te leiden dat deze formule :
y=2x²-1 is !

c) toon aan dat deze formule juist is..

Dus y en x invullen in de formule..
dus je krijgt..

sin 2t = 2*sin²(t+1/4pi) -1

Maar hoe moet ik in godsnaam aantonen dat beide aan elkaar gelijk zijn

[TD]

sin(2t) = 2sin²(t+pi/4) -1

Vermits er geldt dat:
cos(2x) = 1 - 2sin²x <=> sin²x = (1 - cos(2x))/2

2sin²(t+pi/4) = 1 - cos(2t+pi/2)

Dus, rechterlid:

2sin²(t+pi/4) -1 = 1 - cos(2t+pi/2) - 1 = - cos(2t + pi/2) = cos(2t + pi/2) = sin(2t) = linkerlid

[FastJapie]

Lekker duidelijk

[TD]

Niet dus ?

Oké dan...

Voor de cosinus geldt dat:
cos(2x) = cos²x - sin²x

Via de hoofdformule, sin²x+cos²x = 1, kan je de cos²x in die eerste formule vervangen en vind je dus dat:
cos(2x) = 1 - 2sin²x

Die formule is duidelijk?
Dan oplossen naar de sin²x:

cos(2x) = 1 - 2sin²x <=> 2sin²x = 1 - cos(2x) <=> sin²x = (1 - cos(2x))/2

In het rechterlid stond: 2sin²(t+pi/4) -1

Op het onderlijnde deel passen we de vetgedrukte formule toe, waarbij we als x nemen: t+pi/4:

sin²(t+pi/4) = (1-cos(2(t+pi/4)))/2 = (1-cos(2t+pi/2))/2

In het rechterlid was er echter nog een factor 2 voor de sinus, dus die noemer 2 valt weg, en een -1:

Rechterlid: 1 - cos(2t+pi/2) - 1 = - cos(2t+pi/2)

Tegengestelde hoeken hebben gelijke cosinussen, dus dat kan je ook schrijven als: - cos(-pi/2-2t)
Tel er 2pi bij: - cos(3pi/2 -2t)

Het min-teken kan je wegwerken door de supplementaire hoek te nemen, dus (pi - alpha):

- cos(3pi/2 -2t) = cos(pi-(3pi/2 - 2t)) = cos(pi/2-2t)

Dat laatste is precies een complementaire hoek van 2t, en die wisselt cos en sin om, dus is dat gelijk aan sin(2t), het linkerlid.


Voor complementaire hoeken geldt: cos(pi/2-x) = sinx