[WB12]Continue Dynamische Modellen

[TopDrop]

Weet iemand waar ik de uitwerkingen kan vinden van Getal en Ruimte NGNT4 HOOFDSTUK 6 over Continue Dynamische Modellen?? Ik snap er de ballen van en ik wil wat voorbeelden van wat ze nou precies willen. Ik heb wat sites afgezocht, maar ze gaan allemaal maar tot hoofdstuk 5

Het is ook goed als iemand bereid is dit hopeloze onderwerp aan mij uit te leggen...

[Supersuri]

TopDrop schreef op 30-08-2005 @ 17:18 :
Weet iemand waar ik de uitwerkingen kan vinden van Getal en Ruimte NGNT4 HOOFDSTUK 6 over Continue Dynamische Modellen?? Ik snap er de ballen van en ik wil wat voorbeelden van wat ze nou precies willen. Ik heb wat sites afgezocht, maar ze gaan allemaal maar tot hoofdstuk 5

Het is ook goed als iemand bereid is dit hopeloze onderwerp aan mij uit te leggen...

UItleggen gaat alleen als je ff een opgave post die je niet snapt of een concrete vraag hebt.

[TopDrop]

Supersuri schreef op 30-08-2005 @ 17:45 :
UItleggen gaat alleen als je ff een opgave post die je niet snapt of een concrete vraag hebt.

Dat snap ik, maar het gaat me in eerste instantie om de uitwerkingen.

In principe zijn die continue dynamische modellen differentiaalvergelijkingen (dv's). Als je die op kan lossen, beheers je de hele stof. Dan hoef je ook niet meer die afkoelingswet van Newton te leren of andere kunstgrepen.

Je kan heel veel schrijven over het oplossen van dv's, maar bekijk eens dit voorbeeld.

dx/dt = 6t
x(0) = -2

Dat betekent niets anders dan: de afgeleide van x naar t wordt gegeven door 6t. In de natuurkunde zou dat kunnen betekenen dat een deeltje over de x-as beweegt. dx/dt is dan de snelheid van het deeltje, die in dit geval afhankelijk is van de tijd: de snelheid is immers 6t. Het deeltje bevindt zich op het begintijdstip op x₀ = -2. De vraag is nu: hoe ziet x(t) eruit?

We vermenigvuldigen beide kanten met dt:

dx = 6t*dt

Nu heb je eigenlijk aan twee kanten van de vergelijking een integraal staan. Die kan je oplossen door de primitieven te nemen:

6t*dt = 3t² + A
dx = x + B

x + B = 3t² + A

Voor het gemak nemen we de twee constantes samen:

x(t) = 3t² + C

Je kan checken of dat klopt door af te leiden:

dx/dt = x' = [3t² + C]' = 6t

Nu moeten we alleen nog C berekenen, met x(0) = -2 in ons achterhoofd:

x = 3t² + C
-2 = 0 + C
C = -2

Dat zou samen opleveren:

x(t) = 3t² - 2

Dat is een erg basic voorbeeld, maar als je dit begrijpt kan je in principe allerlei andere problemen oplossen.

[TopDrop]

bedankt voor de uitleg. hier dan nog een paar specifieke opdrachten die nog niet helemaal willen lukken.

31).

Een voorwerp koelt af in een omgeving met een temperatuur van 15 graden Celsius. Deze afkoeling kan beschreven worden door het dynamische model

dT/dt = -0,02(T-15) met T(0) = 90

en t in minuten. Bij dit model hoort een grafiek van de temperatuur T in graden Celsius als functie van de tijd t.

a). Stel een vergelijking op van de raaklijn van deze grafiek in het punt dat hoort bij t=0.
b). Op het interval [0;0,5] kun je de in a gevonden raaklijn als benadering van de grafiek van T gebruiken. Bereken hiermee de temperatuur T op t=0,5.
c). Bereken dT/dt voor het in b gevonden punt en gebruik dit om een vergelijking op te stellen van de lijn door dit punt.
d). Gebruik op zijn beurt de in c gevonden lijn als benadering van de grafiek van T op het interval [0,5;1] en bereken hiermee de temperatuur T op t=1.


Dit is zo'n opgave die je krijgt voordat je de methode van Euler krijgt uitgelegd. En ik begrijp niet precies wat je hier moet doen.



32).

Gegeven is de differentiaalvergelijking dy/dx = 2y - 0,02y'kwadraat'. De kromme y = f(x) is de oplossingskromme door het punt (5,10).

a). Geef een benadering van f(5,1). Neem stapgrootte 'delta'x = 0,1
b). Geef een nauwkeuriger benadering van f(5,1) door stapgrootte 'delta'x = 0,05 te nemen.


Hierbij moet je kennelijk een leuke formule gebruiken, namelijk

f(a + 'delta'x) = f(a) + [dy/dx]y=f(a) . 'delta'x


alle hulp is welkom

31).

Een voorwerp koelt af in een omgeving met een temperatuur van 15 graden Celsius. Deze afkoeling kan beschreven worden door het dynamische model

dT/dt = -0,02(T-15) met T(0) = 90

en t in minuten. Bij dit model hoort een grafiek van de temperatuur T in graden Celsius als functie van de tijd t.

a). Stel een vergelijking op van de raaklijn van deze grafiek in het punt dat hoort bij t=0.

dT/dt geeft het richtingscoëfficiënt van de raaklijn. Het is dus gewoon gegevens invullen:

dT/dt = -0,02(T-15) voor T(0) = 90
dT/dt = -0,02(90-15) = -1,5 graden Celsius per minuut.

b). Op het interval [0;0,5] kun je de in a gevonden raaklijn als benadering van de grafiek van T gebruiken. Bereken hiermee de temperatuur T op t=0,5.

Weer simpel rekenwerk.
De afkoeling mogen we als constant beschouwen (het antwoord uit vraag a), dus

temperatuurverschil = 0,5*-1,5 = -0,75 graden
T(0,5) = 90 - 0,75 ~ 89,3 graden

c). Bereken dT/dt voor het in b gevonden punt en gebruik dit om een vergelijking op te stellen van de lijn door dit punt.
d). Gebruik op zijn beurt de in c gevonden lijn als benadering van de grafiek van T op het interval [0,5;1] en bereken hiermee de temperatuur T op t=1.

Dat werkt hetzelfde: nu vul je in de dv in plaats van 90 graden het nieuwe antwoord in en gebruik je het nieuwe richtingscoëfficiënt om het temperatuurverschil en T(1) te berekenen.

(Ik zal eerlijk toegeven dat ik zelf de stof nog niet gehad heb en eigenlijk maar wat uitprobeer )

[TD]

TopDrop schreef op 30-08-2005 @ 23:22 :
32).

Gegeven is de differentiaalvergelijking dy/dx = 2y - 0,02y'kwadraat'. De kromme y = f(x) is de oplossingskromme door het punt (5,10).

a). Geef een benadering van f(5,1). Neem stapgrootte 'delta'x = 0,1
b). Geef een nauwkeuriger benadering van f(5,1) door stapgrootte 'delta'x = 0,05 te nemen.


Hierbij moet je kennelijk een leuke formule gebruiken, namelijk

f(a + 'delta'x) = f(a) + [dy/dx]y=f(a) . 'delta'x


alle hulp is welkom

De benaderingsformule: f(a+Δx) = f(a) + y'(f(a)).Δx

We weten dat f(5) = 10 en gebruiken dit om f(5,1) te benaderen.

f(5+0.1) = f(5) + y'(f(5))*0.1 = 10 + y'(10)*0.1 = 10 + 18*0.1 = 11.8


Nu gaan we het nauwkeuriger doen door de toename te verkleinen.

f(5+0.05) = f(5) + y'(f(5))*0.05 = 10 + 18*0.05 = 10.9

We weten nu dat (bij benadering): f(5,05) = 10.9
We passen nu de benadering weer hierop toe:

f(5.05+0.05) = f(5.05) + y'(f(5.05))*0.05 = 10.9 + y'(10.9)*0.05 = 10.9 + 19.4*0.05 = 11.87

We zien dat we hier iets meer vinden, de benadering is de 2e keer dus beter. (in feite zit de oplossing rond de 11.95)

TopDrop schreef op 30-08-2005 @ 23:22 :

31).
Een voorwerp koelt af in een omgeving met een temperatuur van 15 graden Celsius. Deze afkoeling kan beschreven worden door het dynamische model

dT/dt = -0,02(T-15) met T(0) = 90

en t in minuten. Bij dit model hoort een grafiek van de temperatuur T in graden Celsius als functie van de tijd t.

a). Stel een vergelijking op van de raaklijn van deze grafiek in het punt dat hoort bij t=0.
b). Op het interval [0;0,5] kun je de in a gevonden raaklijn als benadering van de grafiek van T gebruiken. Bereken hiermee de temperatuur T op t=0,5.
c). Bereken dT/dt voor het in b gevonden punt en gebruik dit om een vergelijking op te stellen van de lijn door dit punt.
d). Gebruik op zijn beurt de in c gevonden lijn als benadering van de grafiek van T op het interval [0,5;1] en bereken hiermee de temperatuur T op t=1.

a) Snees gaf je al de richtingscoëfficiënt. Het punt is (0,90) dus de rechte erdoor: T-90 = -3/2*(t-0) <=> T = 90-3t/2

b)Vul nu t = 0.5 in de bovenstaande vergelijking, dan vind je bij benadering T = 357/4 = 89.25

c) Eerst hadden we het gegeven punt (0,90), nu vinden we bij benadering het punt (0.5,89.25).

De richtingscoëfficiënt wordt nu: dT/dt = -0,02(89.25-15) = -297/200
Het punt is dit keer (0.5,89.25) dus de rechte erdoor:
T-89.25 = -297/200*(t-0.5) <=> T = 3(11999 - 198t)/400

d) We gebruiken de nieuwe vergelijking als benadering om T te vinden op t = 1. Invullen levert:
T = 3(11999 - 198)/400 = 35403/400 = 88.5075