Het verschil tussen een vectorruimte en een lichaam

[Upior]

Kan iemand mij dat uitleggen? Ik weet dat op een lichaam de operaties optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen zijn gedefinieërd en op een vectorruimte optellen en vermenigvuldiging, maar is dat het enige verschil? Is een vectorruimte een deelverzameling van een lichaam?

En; waarom heet een vectorruimte een vectorruimte als er niet persee vectoren als zijnde een natuurkundige entiteit worden bedoeld?

Alvast bedankt.

[TD]

Een lichaam (veld in Be, field in En) is een algebraïsche structuur waarin de 4 basisbewerkingen gedefineerd zijn (+, -, *, /) en waarbij deze inwendig zijn. Je hebt ook associativiteit, commutativiteit (voor + en *) en distributiviteit (* t.o.v. +). Verder heb je ook een neutraal element voor zowel + als *.
Het fundamenteel verschil met een vectorruimte is in elk geval dat het hier geen vectoren betreft. Voorbeelden van lichamen zijn R en C.

Een vectorruimte V is eveneens uitgerust met de bewerkingen + en *, maar de optelling intern (VxV->V) en de * van een lichaam K naar V (KxV->V).
V dient een commutatieve groep te zijn en de scalaire vermenigvuldiging KxV->V dient gemengd associatief en distributief te zijn. Bovendien is ook 1 hiervoor weer het neutraal element.
Is het lichaam K hier R, dan spreek je over een reële vectorruimte (analoog voor een complexe vectorruimte).

[mathfreak]

Upior schreef op 07-09-2005 @ 17:09 :
Kan iemand mij dat uitleggen? Ik weet dat op een lichaam de operaties optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen zijn gedefinieërd en op een vectorruimte optellen en vermenigvuldiging, maar is dat het enige verschil? Is een vectorruimte een deelverzameling van een lichaam?

Een vectorruimte V over een lichaam K bevat 2 operaties: optelling van elementen uit V en een vermenigvuldiging met een scalair getal uit K. De optelling is een interne bewerking en de vermenigvuldiging is een externe bewerking.

Upior schreef op 07-09-2005 @ 17:09 :
En; waarom heet een vectorruimte een vectorruimte als er niet persee vectoren als zijnde een natuurkundige entiteit worden bedoeld?

Om dat te kunnen begrijpen zou je eigenlijk iets over de geschiedenis van de algebra moeten weten, maar waar het op neerkomt is dat een vector in eerste instantie als een gericht lijnstuk, dus een lijnstuk met een lengte en een richting, werd beschouwd. Later is men het begrip vector in een abstractere betekenis gaan definiëren, en definieerde men een vector als een algebraïsche grootheid waarop de bewerkingen optellen en vermenigvuldiging met een scalair getal kunnen worden toegepast. Zo vormt de verzameling van alle mxn-matrices over een lichaam K bijvoorbeeld ook een vectorruimte, die als K^m,n kan worden genoteerd. Met behulp van de axioma's voor een vectorruimte kun je overigens aantonen dat ieder lichaam K een vectorruimte over zichzelf is.

[Upior]

Bedankt, het is een stuk duidelijker zo.