Integration using Substitution

integraal sin 5x * cos 5x dx

u = sin 5x
dx = du/ 5 cos 5x

dus 1/10* (sin 5x)^2 +c

waarom met ik juist sin 5x substitueren en niet cos 5x?

als ik cos 5x = u neem krijg ik 1/-10 * (cos 5x)^2 en dat is niet juist...

cos(5x) substitueren werkt ook:

Met u = sin(5x) volgt:
du = (1/5)*cos(5x)dx

En dan gaat de integraal over in (1/5)u*du

=> (1/10)*sin²(5x) + C

Met u = cos(5x) volgt:
du = -(1/5)sin(5x)dx
En dan gaat de integraal over in -(1/5)u*du

=> -(1/10)*cos²(5x) + D

Dit is gelijk omdat de constantes verschillen. Dat zul je zien als je er een bepaalde integraal van maakt.

ik dacht al zoiets maar moest het zeker weten.
dankuwel

[TD]

Andere mogelijkheid: er geldt:
sin(2a) = 2sin(a)cos(a) <=> sin(a)cos(a) = sin(2a)/2

Dus: sin(5x)cos(5x) = sin(10x)/2

=> Int sin(10x)/2 dx = 1/5 Int sin(10x) d(10x) = -cos(10x)/5 + C


Misschien nog een verduidelijking waarom die andere twee oplossingen equivalent zijn (want een factor -1 alleen zou niet mogen).

Er geldt: sin²a + cos²a = 1 <=> sin²a = 1 - cos²a

Dus is 1/10*sin²(5x) + C = 1/10*(1 - cos²(5x)) + C = 1/10 - 1/10*cos²(5x) + C = -1/10*cos²(5x) + (1/10 + C) = -1/10*cos²(5x) + D