[wi] Differentiequotiënt/hellingsgetallen

[Timothy]

Ik ben onlangs begonnen met het differentiëren. Ik doe aan zelfstudie, dus even snel aan een leraar vragen gaat helaas niet.
Ik heb het volgende probleem. In mijn boek (Pascal NG&NT-2) wordt het differentiequotiënt uitgelegd. Dit snap ik helemaal. Nu geven ze alleen een voorbeeld van een berekening waar ik dus niet uitkom.

(Bij het voorbeeldbericht komt er een tekentje niet goed door. De vraagtekens in onderstaand stukje stellen het deltateken voor. Bij intikken krijg ik dat teken wel, maar bij plaatsen wordt het vervangen door een vraagteken.)

In het boek staat: Voorbeeld hellingsgetallen berekenen.
Voor het berekenen van het hellingsgetal van de functie f(x)=3x² voor x=2 ga je als volgt te werk:

Het differentiequotiënt op [2,2 + ?x] is
?y/?x = 3(2 + ?x)² - 3(2)² / 2 + ?x - 2 = 12?x + 3(?x)² / ?x

Ik begrijp dus niet zo goed hoe ze dit hebben uitgewerkt. De eerste stap, het invullen van [2,2 + ?x] snap ik. Maar dan? Die 12?x is vast voortgekomen uit 3(2 + ?x)² waarbij je dus 3 x 2² + ?x uitwerkt tot 3 x 4?x = 12?x, maar hoe het nu verder moet... kan iemand mij daarmee verder helpen?

En dan vervolgens staat er in het boek:
In de noemer van deze breuk staat het onbekende kleine getal ?x. Als je ?x=0 invult, dan komt er een 0 in de noemer te staan en kun je de breuk niet uitrekenen (dat snap ik).
Maar voor willekeurige kleine ?x ? 0 kun je teller en noemer wel door ?x delen. Dan krijg je:
?y/?x = ?x(12 + 3?x) / ?x = 12 + 3?x

Hoe ik die ?x in de noemer krijg, dat weet ik. maar hoe komen ze nou aan de teller?

[TD]

Verschijnt deze delta (Δ) wel?

We zoeken dus Δy/Δx waarbij y = 3x² rond x = 2. We beschouwen de functie dus tussen x = 2 en x = 2+Δx, de bijbehorende functiewaarden zijn dan:
f(2) = 3*2² = 12
f(2+Δx) = 3(2+Δx)² = 3(4+4Δx+Δx²) = 12+12Δx+3Δx²

Dus: Δy/Δx = (f(2+Δx)-f(2))/(2+Δx-2) = (f(2+Δx)-f(2))/Δx.

We vullen in: (12+12Δx+3Δx²-12)/Δx = (12Δx+3Δx²)/Δx = 12+3Δx

In die laatste stap hebben we dus een factor Δx kunnen schrappen, omdat die zowel in teller als noemer voorkwam.

[sdekivit]

ik vind het nogal een vage uitleg in dat boek. Om het hellingsgetal in punt x = 2 te vinden voor de functie f(x) = 3x^2

delta y / delta x = f(2 + h) - f(2) / (2 + h - 2) = f(2+h) - f(2) / h

--> [3(2+h)^2 - 12] / h

--> [3 * (4 + 4h + h^2) - 12 ]/ h

--> [12 + 12h + 3h^2 - 12] / h

--> [12h + 3h^2] / h

--> 12 + 3h

Vervolgens, omdat de afgeleide de limiet van h--> 0 is, h naar 0 laten naderen, dan wordt de helling in punt x = 2 gegeven door 12 (omdat h naar 0 nadert vervalt de 2e term)

Voor de duidelijkheid:

de afgeleide wordt gegeven door lim (h --> 0) f(x+h) - f(x) / h

[Timothy]

Jouw delta komt wel goed door. Ik vrees dat het komt omdat ik op een Mac werk. dat wil niet altijd goed lukken met speciale tekens. Want wederom met opslaan verdwijnt de delta en komt er een vraagteken... Maar goed.

Okee, ik begin het te begrijpen.
Vraagje nog. Je schrijft: 3(2+?x)² = 3(4+4?x+?x²)

Hoe kom je nu aan die (middelste) 4?x ?

Ik begrijp 2² = 4 en ook de laatste ?x die ?x² wordt snap ik ook. Ik zie alleen niet zo gauw waar die 4?x vandaan komt. Is dat dan 2+?x = 2?x en dan het kwadraatje achter het haakje, dus zou het 4?x worden?

[sdekivit]

paraplumethode: (a + b) * (a + b) = a^2 + ab + ab + b^2

en dus: a^2 + 2ab + b^2

Probeer nu nog eens die kwadraat weg te werken met deze methode, daaruit volgt dierect die 4 delta x

[TD]

Timothy schreef op 05-01-2006 @ 12:05 :
Hoe kom je nu aan die (middelste) 4?x ?

(x+y)² = x²+2xy+y² => vergeet het dubbel product niet.

Waar dat vandaan komt kan je zien door het kwadraat volledig uit te werken, zoals sdekivit liet zien.

@ sdekivit: let wel op met haakjes (bij breuken)

[sdekivit]

jaja, was ook maar ff snel getypt

--> zo beter

(gelukkig hoef ik daar binnen mn eigen studie niet meer op te letten )

[Timothy]

Heb wel even flink moeten narekenen, maar met alle uitleg snap ik het nu helemaal! Mijn hartelijke dank hiervoor!

sdekivit, ik werk met het boek Pascal. Tot nu toe was het erg duidelijk. Zou het raadzaam zijn op een andere methode over te stappen?

[TD]

sdekivit schreef op 05-01-2006 @ 12:55 :
jaja, was ook maar ff snel getypt

Snel is hier maar een eufemisme voor fout

sdekivit schreef op 05-01-2006 @ 12:55 :
--> zo beter

Hmja... Alhoewel ik ronde haakjes verkies

[sdekivit]

vierkante haken zijn bij mij uitgevonden om het de ronde haakjes wat meer naar voren te laten komen

was nog 1 quotient vergeten

[TD]

sdekivit schreef op 05-01-2006 @ 13:01 :
was nog 1 quotient vergeten

Het is nog niet helemaal juist hoor

[sdekivit]

TD schreef op 05-01-2006 @ 13:14 :
Het is nog niet helemaal juist hoor

ik weet het, maar ik heb geen zin meer om te veranderen (quotient getekend zoals in mijn word-document is wel goed en ik neem aan dat de TS weet wat ik bedoel )