Pythagoreische drietallen

[Wega]

Heej,

Ik heb voor school een vraag gehad wat ik moet inleveren maar ik snap er helemaal niks van

Kan iemand mij helpen ??

de vraag is:
Bewijs deze methode(diophantos) door alle formules voor x,y en z uit de tabal in te vullen en na tegaan dat x²+y²=z² (herhinner dat (a²-b²)²=(a²-b²)(a²-b²) )

Weet iemand hoe ik moet aantonen dat de formule goed is ?


Greetz,
Wega

[Little Dutchess]

Dan zul je hier toch wel die formules moeten posten uit de tabel

[Wega]

srry,

kies 2 postitieve hele getallen, a en b ( a>b)
kwadrateer beide: a² , b²
dan de som nemen: z= a² + b²
neem het verschil: y = a² - b²
verbubbel het product van de twee wortels: x= 2ab
de drietallen x, y en z vormen een Pythagoreisch drietal
(ga na dat x² + y² = z²)

alvast bedankt

x² + y² = z²
(2ab)² + (a² - b²)² = (a² + b²)

Buiten haakjes halen:
4a²b² + a⁴ + b⁴ - 2a²b² = a⁴ + b⁴ + 2a²b²

Aan beide kanten a⁴ en b⁴ aftrekken en 2a²b² optellen:

4a²b² = 4a²b²

Q.E.D.

[Wega]

Heej bedankt ^^

[mathfreak]

Wega schreef op 28-01-2006 @ 15:33 :
srry,

kies 2 postitieve hele getallen, a en b ( a>b)
kwadrateer beide: a² , b²
dan de som nemen: z= a² + b²
neem het verschil: y = a² - b²
verbubbel het product van de twee wortels: x= 2ab
de drietallen x, y en z vormen een Pythagoreisch drietal
(ga na dat x² + y² = z²)

alvast bedankt

Over het algemeen is het gebruikelijk om x=a²-b², y=2*a*b en z=a²+b² te kiezen. Er geldt dan: x²=(a²-b²)²=a⁴-2*a²*b²+b⁴, y²=4*a²*b² en z²=(a²+b²)²=a⁴+2*a²*b²+b⁴, dus x²+y²=a⁴-2*a²*b²+b⁴+4*a²*b²
=a⁴+2*a²*b²+b⁴=z², waarmee dus is bewezen dat deze keuze van x, y en z een Pythagoreïsch drietal oplevert.
Naast de voorwaarde a>b geldt nog dat ggd(a,b)=1 en a-b is oneven, waarbij ggd(a,b) de grootste gemene deler van a en b voorstelt. Als a-b oneven is betekent dat, dat a oneven is en b even of dat a even is en b oneven. Stel b is even, dus b=2*m, dan moet gelden: a>2*m en a oneven. Stel a=2*m+1, dan geldt: x=a²-b²=(a+b)(a-b)=4*m+1, y=2*a*b=4*m(2*m+1) en z=a²+b²=(a+b)²-2*a*b=(4*m+1)²-4*m(2*m+1)
=16*m²+8*m+1-8*m²-4*m=8*m²+4*m+1.
Stel a is even, dus a=2*m, dan moet gelden: 2*m>b en b oneven. Stel b=2*m-1, dan geldt: x=a²-b²=(a+b)(a-b)=4*m-1, y=2*a*b=4*m(2*m-1) en z=a²+b²=(a+b)²-2*a*b=(4*m-1)²-4*m(2*m-1)
=16*m²-8*m+1-8*m²+4*m=8*m²-4*m+1. Dit geeft je dus een mogelijkheid om bij de keuze a=2*m en b=2*m-1 of a=2*m+1 en b=2*m een Pythagoreïsch drietal x,y,z te vinden voor m=0,1, enzovoort. Merk op dat je bij de keuze a=2*m en b=2*m-1 voor m=1 het bekende Pythagoreïsche drietal x=3, y=4 en z=5 krijgt.