[WI] Cirkels

[Osiris888]

Ik heb een oefening die ik niet kan oplossen. Het zal wel niet zo moeilijk zijn, maar aangezien ik extreem moe ben, lukt het niet...

Bepaal de vergelijking van de cirkels met als straal 10 en die gaan door de punten A(-5,2) en B(5,12)

Ik heb zelf al geprobeerd een stelsel te maken met de cirkel met als middelpunt A en als straal 10 en de cirkel met als middelpunt B en straal 10, maar ik weet niet hoe je een stelsel met 2 cirkels moet oplossen.

Hopelijk kunnen jullie me helpen.

[TD]

Ofwel begrijp ik de vraag niet goed (de vergelijkingen van de cirkels bepalen die door A én B gaan met straal 10), ofwel snap ik je uitwerking niet (jij maakt twee cirkels met middelpunten A en B, maar die gaan er dus niet door...)

De algemene vergelijking van een cirkel met middelpunt (p,q) en straal 10 is:
(x-p)² + (y-q)² = 10²

Vul hierin de punten (5,-2) en (5,12), je krijgt dan twee vergelijkingen in de onbekenden (p,q). Je vindt twee oplossingen, dit zijn de middelpunten van de gevraagde cirkels.

Dit is een volledig algebraïsche methode, je kan ook een meer meetkundige, intuitieve aanpak proberen (denk bvb aan de middelloodlijn van het lijnstuk dat A en B verbindt, de middelpunten vd cirkels moeten daar op liggen...)

[Osiris888]

[/B]

TD schreef op 22-02-2006 @ 17:45 :
Ofwel begrijp ik de vraag niet goed.
-Je begrijpt de vraag wel degeliijk goed.

(jij maakt twee cirkels met middelpunten A en B, maar die gaan er dus niet door...)
-Ik maakte die cirkels om zo het middelpunt van de uiteindelijke cirkels te vinden (al de punten van de cirkels c(A,10) en c(B,10) ligen op afstand 10 van die punten en dus zijn de gemeenschappelijke punten van die cirkels de middelpunten van de uiteindelijke cirkels)

De algemene vergelijking van een cirkel met middelpunt (p,q) en straal 10 is:
(x-p)² + (y-q)² = 10²

Vul hierin de punten (5,-2) en (5,12), je krijgt dan twee vergelijkingen in de onbekenden (p,q). Je vindt twee oplossingen, dit zijn de middelpunten van de gevraagde cirkels.
Dan heb ik weer hetzelfde probleem: Hoe reken je dit uit? ik weet niet hoe ik een stelsel met 2 onbekenden die allebei exponent 2 hebben, moet oplossen.

Dit is een volledig algebraïsche methode, je kan ook een meer meetkundige, intuitieve aanpak proberen (denk bvb aan de middelloodlijn van het lijnstuk dat A en B verbindt, de middelpunten vd cirkels moeten daar op liggen...)
Dit ziet er moeilijk uit en we moesten het trouwens algebraïsch oplossen.

[TD]

Ok, dat oplossen kan op verschillende manieren.
Een manier bestaat erin beide vergelijkingen van elkaar af te trekken en dan twee keer toepassen van a²-b² = (a-b)(a+b). Op deze manier krijg je op een vrij eenvoudige wijze een lineair verband tussen p en q.

Dit kan je oplossen naar één van beiden en dan de gevonden uitdrukking in één van de twee oorspronkelijke vergelijkingen steken, dat is dan nog een vergelijking in één onbekende. Deze vergelijking zal kwadratisch zijn, oplossen met de abc-formule (rekenwerk laat ik achterwege). Via de lineaire relatie die we eerder vonden krijg je dan de bijbehorende waarden van de andere coördinaat.

[Osiris888]

ok, bedankt.
Nu is het gelukt.

[TD]

Graag gedaan.

[Safe]

Heb je eigenlijk een nette tekening gemaakt?
Dan kan je 'zien' dat (5,2) en (-5,12) de middelptn van de gevraagde cirkels zijn!!!

[Osiris888]

Safe schreef op 22-02-2006 @ 19:10 :
Heb je eigenlijk een nette tekening gemaakt?
Dan kan je 'zien' dat (5,2) en (-5,12) de middelptn van de gevraagde cirkels zijn!!!

???
A en B liggen op de cirkel en afstand 10 van de middelpunten van de gevraagde cirkels.

[Safe]

A=(-5,2) B=(5,12) en (5,2) met (-5,12) vormen een vierkant met zijde 10.
De cirkels met middelptn (5,2) en (-5,12) en straal 10 hebben dan A en B als gemeensch snijptn.

Algebraïsch: middelloodlijn van AB is de lijn y=-x+7, snijden met de cirkel (bv) (x-5)²+(y-12)²=100, geeft de gevraagde middelptn.

[Osiris888]

Safe schreef op 22-02-2006 @ 23:26 :
A=(-5,2) B=(5,12) en (5,2) met (-5,12) vormen een vierkant met zijde 10.
De cirkels met middelptn (5,2) en (-5,12) en straal 10 hebben dan A en B als gemeensch snijptn.

Algebraïsch: middelloodlijn van AB is de lijn y=-x+7, snijden met de cirkel (bv) (x-5)²+(y-12)²=100, geeft de gevraagde middelptn.

-We moesten het algebraïsch oplossen.
-Je weet dan de middelpunten op de rechte y=x+7, maar dan weet je nog altijd de coördinaten niet.

Btw, verdere discussie is niet meer nodig, ik heb het vandaag al afgegeven (alles klopte, maar mijn leraar zei dat er een eenvoudigere manier was om een stelsel van 2 cirkels op te lossen.)

[mathfreak]

Osiris888 schreef op 23-02-2006 @ 17:55 :
-We moesten het algebraïsch oplossen.
-Je weet dan de middelpunten op de rechte y=x+7, maar dan weet je nog altijd de coördinaten niet.

Dat komt neer op het oplossen van (x-p)²+(y-q)²=r² en y=a*x+b, waarbij p, q, r, a en b bekend zijn. Invullen van y=a*x+b in (x-p)²+(y-q)²=r² geeft dan een tweedegraadsvergelijking in x, waaruit x is op te lossen, en invullen van de gevonden waarden van x in y=a*x+b geeft de gezochte punten (x,y).