cosinusregel: bewijs

[pomme]

te bewijzen:
a²= b²+c²-2bc.cos alpha
Geg: driehoek ABC. We tekenen een hoogtelijn h uit B en noemen het voetpunt D. Er ontstaat nog een driehoek, BAD.
In driehoek BAD is alpha(1) in A, in driehoek ABC is alpha in A.

In driehoek BAD geldt:

cos alpha(1)= alpha/ BD
alpha= BD.cos alpha(1)
alpha= -cos.cos alpha

Ik hoop dat het duidelijk is adh van mijn gegevens wat ik bedoel. Ik begrijp niet hoe ze aan die laatste stap komen??

(daarna dmv Pythagoras)

[mathfreak]

pomme schreef op 10-06-2006 @ 15:40 :
te bewijzen:
a²= b²+c²-2bc.cos alpha
Geg: driehoek ABC. We tekenen een hoogtelijn h uit B en noemen het voetpunt D. Er ontstaat nog een driehoek, BAD.
In driehoek BAD is alpha(1) in A, in driehoek ABC is alpha in A.

In driehoek BAD geldt:

cos alpha(1)= alpha/ BD
alpha= BD.cos alpha(1)
alpha= -cos.cos alpha

Ik hoop dat het duidelijk is adh van mijn gegevens wat ik bedoel. Ik begrijp niet hoe ze aan die laatste stap komen??

(daarna dmv Pythagoras)

Als je uitgaat van een hoogtelijn uit B krijg je het volgende: als D het voetpunt van de hoogtelijn is stellen we AD=p. Er geldt dan: CD=AC-p=b-p. We hebben nu de rechthoekige driehoeken ABD en BDC met BD als gemeenschappelijke hoogtelijn. In driehoek ABD geldt: cos(alfa)=p/c, dus p=c*cos(alfa). Verder geldt: AB²=c²=AD²+BD²=p²+BD², dus BD²=c²-p². In driehoek BDC geldt: BC²=a²=BD²+CD²=c²-p²+(b-p)²=c²-p²+b²-2*b*p+p²=b²+c²-2*b*p, dus a²=b²+c²-2*b*c*cos(alfa).

[Safe]

pomme schreef op 10-06-2006 @ 15:40 :
te bewijzen:
a²= b²+c²-2bc.cos alpha
Geg: driehoek ABC. We tekenen een hoogtelijn h uit B en noemen het voetpunt D. Er ontstaat nog een driehoek, BAD.
In driehoek BAD is alpha(1) in A, in driehoek ABC is alpha in A.

In driehoek BAD geldt:

cos alpha(1)= alpha/ BD
alpha= BD.cos alpha(1)
alpha= -cos.cos alpha

Ik hoop dat het duidelijk is adh van mijn gegevens wat ik bedoel. Ik begrijp niet hoe ze aan die laatste stap komen??

(daarna dmv Pythagoras)

Is alpha(1) een hoek?
Is alpha een hoek?
Waarom zijn ze dan verschillend?

In drieh BAD geldt ...
De volgende drie regels zijn of onduidelijk of onjuist!

[[Pierewiet]]

http://www.pandd.demon.nl/cosregel.htm#3