wortelvergelijkingen

even een vraag:

hoe bereken je de 4de machtswortel van 16, de 3de machtswortel van 8/27, de 5de machtswortel van -1, de 3de machtswortel van 8^4, en als laatste de
(3de machtswortel van 8)^4 exact uit?

dankjewel alvast

[Bohr. N]

16^1/4=x
16=x⁴
x=2

(8/27)^1/3=x
8/27=x³
(2/3) ³ =x³
x=2/3

(-1)^1/5=x
-1=x^5
x=-1

(8⁴)^1/3=x
8⁴=x³
2¹²=x³
x=2⁴=16

[mathfreak]

rosasun schreef op 20-08-2006 @ 18:06 :
even een vraag:

hoe bereken je de 4de machtswortel van 16, de 3de machtswortel van 8/27, de 5de machtswortel van -1, de 3de machtswortel van 8^4, en als laatste de
(3de machtswortel van 8)^4 exact uit?

dankjewel alvast

Algemeen geldt: de n-demachtswortel uit x is een getal y met de eigenschap yⁿ=x.

[ILUsion]

Dit zijn volgens mij nogal basisoefeningen die je na wat oefenen gewoon op het zicht kan oplossen ofwel door rekenregels van machten toe te passen. Wat bij soortgelijke oefeningen kan helpen is om die wiskundige bewerkingen om te vormen naar woorden. Bijvoorbeeld: 4-de-machtswortel van 16 is eigenlijk hetzelfde als "welk getal verheven tot de 4-de macht is 16?".

⁴√(16) = 16^1/4 = 2 want 2⁴ = 16
³√(8/27) = ³√(8)/³√(27) = 2/3 want 2³ = 8 en 3³ = 27
⁵√(-1) = -1 want (-1)⁵ = -1 (had er gestaan ⁴√(-1) dan waren er geen reële oplossingen, vermits er in R geen even-machtswortels van negatieve getallen bestaan)
³√(8⁴) = 8^4/3 = 2⁴ = 16
(³√(8))⁴ = 8^4/3 = 2⁴ = 16

Eventjes de regels voor machten/wortels herhalen, je kan er hel wat mee doen, zeker bij het integreren zal je vaak wat wortels moeten omzetten in een macht. In de volgende formules blijven we beperkt tot de reële getallen.

c^a c^b = c^a+b
c^a/c^b = c^a-b
(dit betekent dus ook dat c^-b = 1 /( c^b ) )
^a√(c) = c^1/a
(c^a)^b = c^ab
(bc)^a = b^ac^a

En natuurlijk deze waarheid: alle even machten hebben een positieve uitkomst, alle oneven machten hebben hetzelfde toestandsteken als het grondtal (en dezelfde absolute waarde als dezelfde macht van hun absolute waarde): (-3)² = 9 want een even macht; (-5)³ = - 125 want 3 is een oneven exponent (dus een oneven macht) en het grondtal is negatief, dus een negatieve uitkomst en 5³ = 125 dus - 125 als uitkomst).

Deze kan je natuurlijk naar hartelust combineren, zodat je ook voor volgende gevallen een formule krijgt.

Om een wortel te berekenen uit een geheel getal kan je volgens mij best het getal ontbinden in priemfactoren, dit mag volgens de laatste formule in bovenstaand rijtje, maar laat me het uitleggen aan de hand van een voorbeeld. Deze werkwijze zal enkel helpen als je ook een gehele uitkomst zou moeten krijgen, anders krijg je enkel een vereenvoudiging van je wortel, net zoals je meteen vierkantwortel kunt vereenvoudigen. ³√(74088000) = ³√(2³3³5³7³) = 2*3*5*7 = 420. Als er geen gehele uitkomst is, zullen de priemfactoren niet mooi een macht gelijk aan de macht van de wortel hebben, hiervoor ook eventjes een voorbeeld:
³√(1323000) = ³√(2³3³5³7²) = 2*3*5*³√(7[sup]2) = 60* ³√(7[sup]2)
Die laatste wortel kan je dan met een rekenmachine uitwerken bijvoorbeeld (als je rekenmachine dit niet direct ondersteunt, denk dan aan de eerste formule om een wortel naar een macht op te zetten (en vergeet geen haakjes te zetten rond het exponent!!).

Een juiste manuele uitrekeningsmethode ken ik niet (ik weet wel dat deze bestaat voor een gewone vierkantswortel, die valt dus recursief ook toe te passen voor een 4-de-machtswortel, 8-e-machtswortel, 16-de-machtswortel, ... door die respectievelijk, 2,3 ,4, ... keer toe te passen). Die steunt dan op het feit dat een wortel ook gewoon een machtsverheffing is en dat de 4-de-machtswortel gewoon de vierkantswortel van de vierkantswortel van een getal is (en de 8e-machtswortel is daar weer de vierkantswortel van) enzovoorts.

[Supersuri]

Komt uit die eerste vergelijking vierde machtswortel van 16 niet: 2 EN -2?

[Safe]

Nee!!!
x²=4 geeft x=sqrt(4)=2 of x=-sqrt(4)=-2.
Maw de (even)machtswortel uit een niet-negatief reëel getal is positief. Dit is een definitie en is gebaseerd op het functiebegrip.

[ILUsion]

Supersuri schreef op 20-08-2006 @ 20:51 :
Komt uit die eerste vergelijking vierde machtswortel van 16 niet: 2 EN -2?

Dat zou inderdaad kunnen, vermits ook (-2)⁴ = 16, in theorie zou het mogelijk zijn, maar omdat je dan voor elke wortel 2 mogelijkheden zou krijgen, wordt van elke even-machtswortel gewoon de positieve als uitkomst genomen. In een oefening zal op -16^1/4 (let op: geen haakjes, het minteken wordt dus niet verheven tot de 4e macht in tegenstelling tot (-16)^1/4 = 2) of -⁴√(16)de negatieve uitkomst geven. Zo zijn beide mogelijkheden toch definieerbaar maar krijg je niet van die gekke constructies: of 2 of -2.

[Supersuri]

ILUsion schreef op 21-08-2006 @ 14:52 :
Dat zou inderdaad kunnen, vermits ook (-2)⁴ = 16, in theorie zou het mogelijk zijn, maar omdat je dan voor elke wortel 2 mogelijkheden zou krijgen, wordt van elke even-machtswortel gewoon de positieve als uitkomst genomen. In een oefening zal op -16^1/4 (let op: geen haakjes, het minteken wordt dus niet verheven tot de 4e macht in tegenstelling tot (-16)^1/4 = 2) of -⁴√(16)de negatieve uitkomst geven. Zo zijn beide mogelijkheden toch definieerbaar maar krijg je niet van die gekke constructies: of 2 of -2.

Ja ik snap sqrt(9) = 3 en niet ook -3
Maar bij x^4=16 zijn er wel weer 2 oplossingen toch?

[TD]

Ja, maar dat geldt bij x² = 9 ook.
Als je de vierdemachtswortel uit 16 trekt, is het weer de positieve oplossing x = 2.

[ILUsion]

Supersuri schreef op 21-08-2006 @ 19:34 :
Ja ik snap sqrt(9) = 3 en niet ook -3
Maar bij x^4=16 zijn er wel weer 2 oplossingen toch?

Vergeet niet, een vierdemachtswortel is slechts een vierkantswortel van een vierkantswortel (dat valt te verklaren met een van de formules van machten in mijn eerste post, macht met exponent 1/2 verheven tot macht 1/2, geeft exponent 1/4 of vierdemachtswortel, en omgekeerd geldt dat natuurlijk ook!). Dat geeft al aan bij wortels in de machten van 2 (2,4,8,16...), andere wortels in macht 6,10, ... kunnen vereenvoudigd worden naar (aantal) vierkantswortel van een (aantal) onevenmachtswortels. Een onevenmachtswortel heeft slechts één oplossing (vermits het toestandsteken behouden blijft), dus zullen daar geen extra oplossingen bijkomen: zo'n wortel is slechts een getal. En je geeft zelf aan dat je begrijpt waarom een vierkantswortel slechts één oplossing heeft, dus ook elke andere wortel heeft maar één oplossing.

(Opgelet, vergis het begrip wortels hier niet met de zogenaamde wortels van een functie, dit zijn de nulpunten; dat wordt bij parabolen nog wel eens gezegd, daarvan kunnen er wel meerdere zijn voor één functie)

[Supersuri]

Ja ik snap het wel het is dus gewoon een afspraak?

Want het is gewoon apart dat als je zeg maar x^2=9 oplost:
x=sqrt(9) x = 3 v x = -3

maar bij gewoon x=sqrt(9) er dan alleen 3 uit komt.

Zou iemand me dat uit kunnen leggen? Is dat een afspraak of is het anders te verklaren?

[Bohr. N]

y=sqrt(x)
y^2=x

domein x van een wortel functie is groter of gelijk aan 0
als het domein positief is kan het bereik, y nooit negatief worden.

Supersuri schreef op 21-08-2006 @ 23:39 :
Ja ik snap het wel het is dus gewoon een afspraak?

Want het is gewoon apart dat als je zeg maar x^2=9 oplost:
x=sqrt(9) x = 3 v x = -3

maar bij gewoon x=sqrt(9) er dan alleen 3 uit komt.

Zou iemand me dat uit kunnen leggen? Is dat een afspraak of is het anders te verklaren?

Het is inderdaad puur een conventie/afspraak, trek je er niet te veel van aan. Een functie sqrt(x) die voor elke x twee waardes teruggeeft is namelijk niet erg makkelijk in het gebruik. Niet te moeilijk doen: onthouden dat de wortelfunctie alleen de positieve oplossing geeft en bij even machten (x^2, x^4, ...) de negatieve oplossing niet vergeten.

[TD]

Supersuri schreef op 21-08-2006 @ 23:39 :
Ja ik snap het wel het is dus gewoon een afspraak?

Want het is gewoon apart dat als je zeg maar x^2=9 oplost:
x=sqrt(9) x = 3 v x = -3

maar bij gewoon x=sqrt(9) er dan alleen 3 uit komt.

Zou iemand me dat uit kunnen leggen? Is dat een afspraak of is het anders te verklaren?

Het is een afspraak, gemaakt zodanig dat sqrt(x), genaamd de vierkantswortel, een functie is. Deze mag voor elke x-waarde maar maximaal één beeld hebben. De parabool y² = x valt zo uit elkaar in twee takken: +sqrt(x) en -sqrt(x), beide functies.

Snees schreef op 21-08-2006 @ 23:56 :
Een functie sqrt(x) die voor elke x twee waardes teruggeeft is namelijk niet erg makkelijk in het gebruik.

Dan is het gewoonweg geen functie! Heeft verder met dat gebruik niets te maken.

[Bohr. N]

abra kadabra en plotseling kwamen er drie replies.

ik begin het wel leuk t evinden hier.

Bohr. N schreef op 22-08-2006 @ 00:05 :
abra kadabra en plotseling kwamen er drie replies.

ik begin het wel leuk t evinden hier.

Ik vind het vooral mooi dat het zo laat doorgaat. Je zou bijna zeggen dat we niks beters te doen hebben

[ILUsion]

Zoals TD al zei: een functie is een afbeelding waarbij elke x-waarde slechts één resultaatwaarde y kan hebben.

En wat elders ook aan bod kwam: ontbinden in factoren...
x² = 9
<=> x² - 9 = 0
Dit is een merkwaardig product (namelijk het verschil van twee kwadraten (hier nu wel overduidelijk, maar in feite kan het met elk getal daar)
<=> (x - 3)(x + 3) = 0
(en je kan hier gaan zeggen, ja maar, je kan ook (-3) kiezen, maar dan krijg je toch lekker net hetzelfde)
<=> x = 3 v x = -3
Voila, daar zijn je twee uitkomsten