[WIS] Discriminantmethode

[Saarah]

Hoi,
We moeten oefeningen oplossen a.h.v de discriminantmethode (oefeningen op ontbinden in factoren). Er staat één voorbeeld bij, maar ik weet totaal niet meer hoe ik het moet doen. Kan iemand mij deze methode uitleggen a.h.v. de voorbeeldoefening?
Dit is de oefening + oplossing:

2x² + 5x - 3 = (2x -1).(x+3)

Alvast bedankt!

[mathfreak]

Saarah schreef op 09-09-2006 @ 13:58 :
Hoi,
We moeten oefeningen oplossen a.h.v de discriminantmethode (oefeningen op ontbinden in factoren). Er staat één voorbeeld bij, maar ik weet totaal niet meer hoe ik het moet doen. Kan iemand mij deze methode uitleggen a.h.v. de voorbeeldoefening?
Dit is de oefening + oplossing:

2x² + 5x - 3 = (2x -1).(x+3)

Alvast bedankt!

Veronderstel dat 2*x²+5*x-3 te ontbinden is als (2*x-a)(x-b), dan geldt: (2*x-a)(x-b)=2*x²-(a+2*b)x+a*b=2*x²+5*x-3, dus a+2*b=-5 en a*b=-3. Stel a=1, dan geldt: 1+2*b=-5, dus 2*b=-6, dus b=-3. Er geldt: a*b=1*-3=-3. Dit klopt, dus de gezochte ontbinding is 2*x²+5*x-3=(2*x-1)(x+3).

[remy476]

dat is toch met de vogelbek methode te doen

[ILUsion]

De discriminant D = b² - 4ac voor een tweedegraagsvergelijking ax² + bx + c = 0, met behulp van de discriminant, kan je de wortel(s) of nulpunten van een tweedegraadsvergelijking bepalen, dit gaat als volgt, je rekent allereest de discriminant uit voor je vergelijking.
Afhankelijk van die discriminant, heb je drie verschillende gevallen:
D < 0: bij een negatieve discriminant heb je géén reële oplossingen voor de vergelijking, bijgevolg kan je de vergelijking dus niet ontbinden als je werkt in R

D > 0: je krijgt hier twee wortels of nulpunten, die ik hier x₁ en x₂ zal noemen. Die zijn te berekenen via de volgende formules:
x₁ = (-b - √D)/(2a)
x₂ = (-b + √D)/(2a)
In één formule wordt vaak gewoon het volgende gezet:
x = (-b ± √D)/(2a) = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)
Dit is de formule om de beide nulpunten van een tweedegraadsvergelijking te bepalen, maar daarmee heb je nog niet ontbonden in factoren, maar je kan gemakkelijk zien dat een dergelijke tweedegraadsvergelijking het product is van twee eerstegraadsvergelijkingen en bij een eerstegraadsvergelijking (x - a) is a het nulpunt, dat helpt bij het verstaan van de verdere ontbinding die voor ax² + bx + c = a(x-x₁)(x-₂). In de meeste gevallen, heb je voor één van beide wortels een lelijke breuk, die kan je meestal gewoon wegwerken door die a binnen de haakjes te brengen en te vermenigvuldigen met x en die wortel in breukvorm. Je mag ook altijd a opsplitsen in twee delers van a (d en e, bijvoorbeeld) en dan de d bij de eerste haakjes binnenbrengen en de e bij de andere haakjes.

D = 0: bij een discriminant gelijk aan nul, heb je één wortel (de top van je parabool raakt dus de x-as, bij een grafiek). De oplossing die je krijgt is (-b/2a). Dit is nog niet de ontbinding, maar slechts een nulpunt. In de ontbinding krijg je "ax² + bx + c = a(x + b/2a)²", in feite is dit slechts een speciaal geval van de tweede mogelijkheid.

Bij D = 0, maakt het natuurlijk niet uit of je + of - √0 doet. En bij D < 0 heb je geen reële vierkantswortels.

Voor jouw oefening geeft dat allemaal:
2x² + 5x - 3
a = 2
b = 5
c = -3
D = b² -4ac = 25 - 4(2)(-3) = 49 = 7² (in het begin ga je toch meestal volkomen kwadraten krijgen, ik vind het gewoon het makkelijkst om direct bij D = ... = ...² te zetten, zo zit je daar straks niet op te peuteren).

x₁ = (-5 - 7) / (2(2)) = - 12/4 = -3
x₁ = (-5 + 7) / (2(2)) = 2/4 = 1/2

2x² + 5x - 3 = 2(x+3)(x-1/2) = (x+3)(2x-1)
Let vooral goed op de tekens, bij (x-a) is het nulpunt a, bij (x+a) is het nulpunt -a!