Laplace transformatie

Use the Laplace transform to solve the given initial value problem:
y" + 2y' +5y = 0
y(0)=2, y'(0)=-1

Ik kom op een ander antwoord uit dan het antwoord dat in het boek staat, maar ik zou niet weten wat ik fout doe. Iemand enig idee? Hieronder staat mijn uitwerking.

(s^2)*L(y") - s*y(0) - y'(0) + 2s*L(y') - 2y(0) + 5L(y)
(s^2)*L(y) - 2s + 1 + 2s*L(y) - 4 + 5*L(y) = 0
L(y) * (s^2 + 2s + 5) = 2s + 3

L(y) = (2s+3) / (s^2+2s+5)
= 2*(s+1.5) / ((s+1)^2 +3)
= 2* (s+1) / ((s+1)^2 +3) + 1/sqrt(3) * sqrt(3) / ((s+1)^2 +3)

Uit een tabel:
(s-a)/((s-a)^2+b^2) --> y=e^(at)*cos(bt)
b/((s-a)^2+b^2 --> y=e^(at)*sin(bt)

dus:
y=2e^(-t) * cos(sqrt(3)*t) + 1/sqrt(3) * e^(-t) * sin(sqrt(3)*t)

Maar het zou moeten zijn:
y=2e^(-t) * cos(2t) + 0.5e^(-t) * sin(2t)

Wat doe ik fout?

[mathfreak]

Anika schreef op 16-09-2006 @ 12:25 :
Use the Laplace transform to solve the given initial value problem:
y" + 2y' +5y = 0
y(0)=2, y'(0)=-1

Ik kom op een ander antwoord uit dan het antwoord dat in het boek staat, maar ik zou niet weten wat ik fout doe. Iemand enig idee? Hieronder staat mijn uitwerking.

(s^2)*L(y") - s*y(0) - y'(0) + 2s*L(y') - 2y(0) + 5L(y)
(s^2)*L(y) - 2s + 1 + 2s*L(y) - 4 + 5*L(y) = 0
L(y) * (s^2 + 2s + 5) = 2s + 3

L(y) = (2s+3) / (s^2+2s+5)
= 2*(s+1.5) / ((s+1)^2 +3)
= 2* (s+1) / ((s+1)^2 +3) + 1/sqrt(3) * sqrt(3) / ((s+1)^2 +3)

Uit een tabel:
(s-a)/((s-a)^2+b^2) --> y=e^(at)*cos(bt)
b/((s-a)^2+b^2 --> y=e^(at)*sin(bt)

dus:
y=2e^(-t) * cos(sqrt(3)*t) + 1/sqrt(3) * e^(-t) * sin(sqrt(3)*t)

Maar het zou moeten zijn:
y=2e^(-t) * cos(2t) + 0.5e^(-t) * sin(2t)

Wat doe ik fout?

De Laplacegetransformeerde van y" is s²*f(s)-2*s+1 en die van y' is s*f(s)-2, dus de Laplacegetransformeerde van y"+2*y'+5*y=0 is dan s²*f(s)-2*s+1+2*s*f(s)-4+5*f(s)=0, dus f(s)(s²+2*s+5)=2*s+3, dus f(s)=(2*s+3)/((s²+2*s+5)=(2*s+3)/[(s+1)²+4]
=(2*s+2)/[(s+1)²+4]+1/[(s+1)²+4]
=2(s+1)/[(s+1)²+4]+1/[(s+1)²+4]. Terugtransformeren levert dan y=2*e^-t*cos(2*t)+1/2*e^-t*sin(2*t) als de gezochte oplossing.

Oja wat suf van mezelf, gewoon een soort rekenfoutje
Bedankt!

[mathfreak]

Anika schreef op 16-09-2006 @ 14:36 :
Oja wat suf van mezelf, gewoon een soort rekenfoutje
Bedankt!

Graag gedaan.