Wiskunde: 7-puntige ster in cirkel

[Gatara]

Zeker in Als ik een cirkel heb met daarin een zevenpuntige ster getekend (zoals die op http://www.ngw.nl/r/rottum.htm en deze in een cirkel) en ik moet de lijn tussen de punten berekenen, wetende dat de afstand op de cirkel tussen de punten: ong. 2,69 is bij een cirkel met een straal van 3.
Hoe bereken ik deze afstand?

(1 lijn van de driehoek die ontstaat gaat naar het centrum en is dus 3, geloof ik.... dan heb je dus twee bekenden: 3 en 2,69. Maar het betreft hier geen drieheoek waarin een hoek van 90 graden zit en ik ben die cosinus/sinus regeling vergeten... overigens weet ik niet zeker of het wel klopt dat de 1 lijn de straal is in dit geval)


[Hmm,.. ik probeerde de titel van het onderwerp te veranderen, maar dat lukt niet met de "wijzig-knop" Haha,.. driehoek moet natuurlijk: STER zijn 7-puntige driehoek zeker in een dimensie die wij nog niet kennen ]

[mathfreak]

Als A, B en C de hoeken van driehoek ABC zijn en a de zijde tegenover A, b de zijde tegenover B en c de zijde tegenover C, dan geldt:
a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C). Dit is de sinusregel. De cosinusregel luidt als volgt: a^2=b^2+c^2-2*b*c*cos(A). Door b op dezelfde manier in a, c en B uit te drukken en c op dezelfde manier in a, b en C uit te drukken vind je de formules voor de lengte van b en c met behulp van de cosinusregel.

[Gatara]

mathfreak schreef:
Als A, B en C de hoeken van driehoek ABC zijn en a de zijde tegenover A, b de zijde tegenover B en c de zijde tegenover C, dan geldt:
a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C). Dit is de sinusregel. De cosinusregel luidt als volgt: a^2=b^2+c^2-2*b*c*cos(A). Door b op dezelfde manier in a, c en B uit te drukken en c op dezelfde manier in a, b en C uit te drukken vind je de formules voor de lengte van b en c met behulp van de cosinusregel.

Thanks maar ik merk dat ik m niet kan toepassen:

Alle lijnen zijn toch onbekend (1 lijn is geen straal) als ik het goed zie (en goed getekend heb)). Wat slechts bekend is, is dat gedeelte van de cirkel tussen punt A en B (6pi=18,85 -> 18,85/7=2,69)

Wat nu? hoe bereken ik de LIJN tussen A en B? terwijl ik die driehoek die je kunt maken niet te berekenen is?
Of moet ik een denkbeeldige driehoek maken (die gelijkbenig is) en vanuit A een lijn tekenen naar het middelpunt en vanuit B een lijn tekenen naar het middelpunt (en deze lijnen dus beiden de straal zijn) ?

Lijkt me de meest logische oplossing.....en dan moet ik toch die formule toepassen ..he? maar ik heb teveel onbekenden... ik moet op zn minst HOEK C weten

[mathfreak]

Als M het middelpunt van de cirkel voorstelt en A en B 2 gegeven punten op de cirkelomtrek zijn, dan vormt ABM een gelijkbenige driehoek met basis AB en tophoek AMB. Omdat de hoogtelijn uit M in driehoek ABM tevens de bissectrice van hoek AMB is moet gelden: AB=2*r*sin(1/2*AMB), waarbij r de straal van de cirkel voorstelt. Hopelijk kom je hier wel iets verder mee.

[Gatara]

Ohnee, ik weet C wel.

Als de cirkel opgedeeld is in driehoeken waarvan haar tophoeken naar het middelupnt staan, dan zijn al die tophoeken bij elkaar 360 graden. Bij 7 driehoeken is dat dan: 360/7 = 51,43

C moet dan zijn: 51.43/2=25,71

[Gatara]

lijn AB is dan 2,6

[mathfreak]

Even een correctie op mijn berekening van AB: er moet gelden: AB=2*r*sin(1/2*AMB) en niet AB=2*r*cos(1/2*AMB), zoals ik per vergissing had vermeld. Overigens heb ik deze fout zojuist al gecorrigeerd.
Dit probleem heeft veel weg van het probleem wat betreft het construeren van regelmatige veelhoeken in een cirkel met passer en liniaal. Als m het aantal zijden van de regelmatige veelhoek voorstelt en n=2^k met k een geheel getal groter of gelijk aan nul, dan is de regelmatige veelhoek te construeren indien geldt: m=2^n + 1. Zo'n getal m heet een Fermatgetal naar Pierre Fermat, een advocaat uit Toulouse die zich bij wijze van hobby met wiskunde bezig hield en samen met de wiskundige en filosoof Blaise Pascal de grondslag legde voor de kansrekening.
In 1796 bewees de toen 19-jarige wiskundige Carl Friedrich Gauss de mogelijkheid van de constructie van de regelmatige veelhoek voor m=17. Dit is het Fermatgetal dat je krijgt door k=2 te kiezen. De gevallen m=3 (voor k=0) en m=5 (voor k=1) waren al sinds de Griekse Oudheid bekend.

[Gatara]

mathfreak schreef:
Even een correctie op mijn berekening van AB: er moet gelden: AB=2*r*sin(1/2*AMB) en niet AB=2*r*cos(1/2*AMB), zoals ik per vergissing had vermeld. Overigens heb ik deze fout zojuist al gecorrigeerd.

Maar waarom zo'n ingewikkelde berekening als het ook makkelijker kan?
360/x
waarvoor x het aantal punten in de driehoek (7 deze keer)
en dan deze hoek toepassen via de gelijkbenige driehoek en de sinusregel.

Alhoewel ik wel denk dat wanneer je twee willekeurige punten op (de omtrek van een) cirkel verbindt, je jouw formule moet gebruiken.

Het was toch de negenpuntcircel
Mwah krijg ik volgend jaar

[Gatara]

darkshooter schreef:
Het was toch de negenpuntcircel
Mwah krijg ik volgend jaar

Erm,... ik heb geen wiskunde meer
Ben een test aan het doen en moest even een paar formules weten
De vraag is eigenlijk: als je 7 punten willekeurig op een cirkel zet. In maximaal hoeveel vlakken kun je deze cirkel dan verdelen?

Mij leek de 7 puntige ster de logische, want dan gaan de lijnen evenveel over elkaar heen en hebben een beter bereik (en dus onstaan meer vlakken). Maar dan moest ik dat eerst even tekenen en daar had ik dus die formule voor nodig

(om een lang verhaal kort te maken)

[ekki]

topictitel=veranderd.

[Gatara]

ekki schreef:
topictitel=veranderd.

hihi Thanks!