[WI] Differentieerbare functie?

Hallo,

Een calculus opgave waar ik niet uitkom:



Opdracht a) is c=1, alleen uit opdracht b) kom ik niet. Ik neem aan dat ze met 'de definitie' bedoelen de definitie van de afgeleide;

f'(x) = lim(h->0) (f(x₀+h) - f(x₀)) /h

Ik kom er alleen niet uit.. wie kan me helpen?
Bedankt.

Schrijf de definitie uit en evalueer de limiet. Waar loop je precies vast?

Je krijgt dus:

Ja, dat had ik ook...
Trouwens, mag je dat sin0/(0+0²) zomaar 1 noemen?? Nee toch?want ze naderen de 0 wel, maar beide op een andere manier... toch?

Daarvan niet-uitgaande kom ik nog op

sinh sinx₀
----- - ----
h³+h² h*0

maar verder niet.

Breuken gelijknamig maken:





sin h Taylorontwikkelen:







Ik weet niet zeker of 't klopt.

[TD]

Het is inderdaad -1, dat klopt.

Oke fantastisch, bedankt.
Dat Taylorontwikkelingen ontging me al vanaf het begin, maar vanaf kom ik er ook met de l'Hôpitalregel.
Bedankt

Ja, je mag de regel van l'Hôpital niet altijd gebruiken, daarom vermeed ik 'm maar.

[ILUsion]

Kazet Nagorra schreef:

Ja, je mag de regel van l'Hôpital niet altijd gebruiken, daarom vermeed ik 'm maar.

Als ik me niet vergis mag de l'Hôpital gebruikt worden als teller en noemer continuë differentieerbare functies zijn op een kleine omgeving rond het punt waar je de limiet neemt, maar ook dat je een onbepaalde vorm of uitkomt. In andere onbepaalde gevallen, is het een kwestie van omvormen tot dergelijke onbepaaldheid.

[dutch gamer]

Ik vermoed dat Kazet bedoelde dat dat niet altijd op tentamens mag van de docenten .

[ILUsion]

dutch gamer schreef:

Ik vermoed dat Kazet bedoelde dat dat niet altijd op tentamens mag van de docenten .

Wat voor rare regeltjes zijn me dat nu? (niet dat jij eraan kan doen) Dat je in een cursus soms oefeningen krijgt waar men oplegt: los het via deze geziene techniek op (zoals in deze opgave in feite: los deze oefening op via de definitie), begrijp ik nog; maar als een docent oplegt dat je een bepaalde geldige techniek niet mag gebruiken (gewoon voor de sport, niet omdat het wetenschappelijk gezien fout is), vind ik eigenlijk vooral stom. In je latere leven ga je gewoon zelf moeten beslissen: ik gebruik deze methode of ik gebruik een andere methode. De l' Hôpital is gewoon in heel wat gevallen de snelste manier om er te geraken.

ILUsion schreef:

Wat voor rare regeltjes zijn me dat nu? (niet dat jij eraan kan doen) Dat je in een cursus soms oefeningen krijgt waar men oplegt: los het via deze geziene techniek op (zoals in deze opgave in feite: los deze oefening op via de definitie), begrijp ik nog; maar als een docent oplegt dat je een bepaalde geldige techniek niet mag gebruiken (gewoon voor de sport, niet omdat het wetenschappelijk gezien fout is), vind ik eigenlijk vooral stom. In je latere leven ga je gewoon zelf moeten beslissen: ik gebruik deze methode of ik gebruik een andere methode. De l' Hôpital is gewoon in heel wat gevallen de snelste manier om er te geraken.

Het kan ook zijn dat je de methode niet mag gebruiken, omdat bijvoorbeeld de opgaven bedoeld zijn om een andere methode te oefenen. Een tweede voordeel van de Taylor-methode is natuurlijk dat je de omstandigheden waaronder je l'Hôpital mag gebruiken niet hoeft te onthouden (ik weet ze in elk geval niet uit mijn hoofd). Opgaven zijn natuurlijk sowieso niet bedoeld om problemen op te lossen, maar om vaardigheden te leren waarmee je andere problemen kan oplossen of concepten kan leren begrijpen.

[ILUsion]

Kazet Nagorra schreef:

Het kan ook zijn dat je de methode niet mag gebruiken, omdat bijvoorbeeld de opgaven bedoeld zijn om een andere methode te oefenen. Een tweede voordeel van de Taylor-methode is natuurlijk dat je de omstandigheden waaronder je l'Hôpital mag gebruiken niet hoeft te onthouden (ik weet ze in elk geval niet uit mijn hoofd). Opgaven zijn natuurlijk sowieso niet bedoeld om problemen op te lossen, maar om vaardigheden te leren waarmee je andere problemen kan oplossen of concepten kan leren begrijpen.

Dat ze dienen om een andere methode te trainen, dat kan ik begrijpen en heb ik ook min of meer vermeld; maar echt bepaalde methodes uitsluiten vind ik best stom.

Ik weet trouwens ook niet hoe het zit in Nederland, maar Taylor-reeksen heb ik nooit in het middelbaar gezien (in het ergste geval een sinus theta afschatten door theta voor kleine waarden van theta).

Het nadeel van die Taylor-methode is dat je ofwel vastzit aan het onthouden van heel wat Taylor-reeksen (of die ter plekke moet gaan opstellen). Het bijkomende nadeel is dat je over het algemeen toch de reeks moet opstellen (vermits de algemene reeksontwikkelingen wel in 1 of 0 liggen; maar voor een limiet naar een andere waarde of oneindig heb je daar niet altijd even veel aan door soms best wel slechte convergentie van Taylorreeksen (een voorbeeld dat bij ons gegeven werd: bv. een sinus ontwikkelen volgens Taylor en dan sin(1000) daaruit halen, geeft de eerste paar honderd termen dingen die totale nonsens zijn voor een sinus). Dus via die Taylorreeksen heeft enkel zin als je in de buurt van het punt waarrond je de reeks neemt, gaat kijken (meestal rond 0 dus, vermits daarvoor de meeste reeksen opgesteld zijn en als je voor een limiet naar oneindig neemt, is het helemaal onbruikbaar; wat je dus ook een voorwaarde op het gebruik zou kunnen noemen (maar ook eentje die vrij logisch is en waar je bij het nemen van die limiet direct zou zien dat er iets niet zou kloppen).


Ik vind de voorwaarden voor de l 'Hopital trouwens niet moeilijk te onthouden: je gaat teller en noemer afleiden (dus dat is al een vereiste: je kan en mag allebei afleiden), verder krijg je een breuk, dus de afgeleide van de noemer mag niet 0 zijn (al zal je daar altijd aan voldoen of gewoon direct je limiet al kunnen uitschrijven), de enige 'moeilijke' voorwaarde is dat je het slechts in de gevallen die ik hierboven genoemd heb, mag gebruiken (maar ook andere gevallen vallen op te lossen, als je de formule wat hervormt (bv. 0 / oneindig of oneindig - oneindig kan je wel omvormen naar toegelaten vormen). Dat dat niet altijd simpel is, is wel een feit

ILUsion schreef:

Ik weet trouwens ook niet hoe het zit in Nederland, maar Taylor-reeksen heb ik nooit in het middelbaar gezien (in het ergste geval een sinus theta afschatten door theta voor kleine waarden van theta).

In Nederland ook niet, maar bij ons werden limieten sowieso al heel summier behandeld en kwam de regel van l'Hôpital ook niet aan bod.

Woej vandaag tentamen gehad en heb echt een tien ofzo (: bedankt nog voor de hulp
En ILUsion: het is ook geen middelbare school-stof (1e jaars univ), maar ik wist dat er hier mensen waren die me wel konden helpen, dus vandaar dat ik het toch vroeg.

Jeroenjeroen schreef:

Woej vandaag tentamen gehad en heb echt een tien ofzo (: bedankt nog voor de hulp
En ILUsion: het is ook geen middelbare school-stof (1e jaars univ), maar ik wist dat er hier mensen waren die me wel konden helpen, dus vandaar dat ik het toch vroeg.

Vreemd dat je wel l'Hôpital gehad hebt, maar geen Taylorreeksen. Hoe dan ook, die zul je binnenkort wel krijgen.

Kazet Nagorra schreef:

Vreemd dat je wel l'Hôpital gehad hebt, maar geen Taylorreeksen. Hoe dan ook, die zul je binnenkort wel krijgen.

Die heb ik wel gehad, maar snapte ik niet :-P

Jeroenjeroen schreef:

Die heb ik wel gehad, maar snapte ik niet :-P

Een Taylorreeks is gewoon een raaklijn deluxe. (een eerste orde Taylorexpansie is gewoon een raaklijn)

[ILUsion]

Zoals Kazet Nagorra al zegt; een taylorreeks is de uitbreiding op de raaklijn. Waar het op neerkomt is dat je een differentiëerbare functie kan benaderen door zijn raaklijn, wil je wat verder kunnen gaan dan moet je een taylorreeks gebruiken tot op een bepaalde orde (je zit dan behalve voor veeltermen wel vaak fouttermen bijkomen die dan theoretisch bepaald kunnen worden).

Er zijn dan wel stukken theorie die er verder op ingaan (namelijk: in welk gebied de gelimiteerde som van een taylorreeks betrouwbaar is (dus tot de hoeveelste orde je moet gaan om in een bepaald gebied een goede benadering te hebben).

Sowieso is het wel een stukje theorie die belangrijk is, hier zie je een toepassing; maar er zijn talloze toepassingen.

[TD]

Vreemd dat er zo'n discussie is over l'Hôpital versus Taylor, zo verschillend zijn ze eigenlijk niet! Stel je zit in het klassieke geval van de schijnbare onbepaaldheid 0/0, anderen kun je naar deze herleiden. Onder de juiste voorwaarden geldt dan volgens l'Hôpital: lim(x->a) f(x)/g(x) = lim(x->a) f'(x)/g'(x).

Dit is in feite niets anders dan een eerste-orde Taylorbenadering! Immers, we vervangen dan f(x) door f(a)+f'(a) en g(x) door g(a)+g'(a), maar vermits f(a) = g(a) = 0 (de onbepaaldheid), volgt dan dat de limiet f'(a)/g'(a) is. Dit lijkt nu misschien triviaal, maar wordt door docenten niet vaak genoeg verteld

Over het niet mogen gebruiken van l'Hôpital dan: dat kan soms wel met reden zijn... Als je wél Taylor mag toepassen, dan is het gewoon omdat ze je Taylor willen leren. Een andere logische reden is er niet, want zoals je net kon zien, zijn ze fundamenteel eigenlijk niet verschillend.

Maar als je ook geen Taylor mag gebruiken, dan is de filosofie gewoonlijk: gebruik geen onnodig grof geschut. Nu lijkt l'Hôpital dat misschien niet - vaak is het zelfs de snelste methode - maar je hebt er wel de afgeleide van de functie(s) voor nodig! Vanuit 'theoretisch' standpunt, is dat minder eenvoudig dan meetkundige of algebraïsche argumenten.