[WK] Absolute waarde

Arcedea · **13-01-2008, 10:44**

Opgave: bereken |2-8|

Is dat dan -6 en +6 ?

Zo niet, iemand die me kan helpen om het te berekenen?

Nilssiej · **13-01-2008, 11:36**

|2-8|=|-6|

Als je alleen de absolute waarde van een getal neemt, komt er gewoon 6 uit, aangezien negatieve getallen niet echt bestaan bij de absolute waarde (ik weet niet hoe dit met complexe getallen zit, voor het geval ik daar weer opmerkingen op krijg

). Dat is ook de rede dat bij |x|=6 x=6 of x=-6 uit kan komen, Want bij de absolute waarde tellen de negatieve waarden eigenlijk niet mee. Als je dan x gaat invullen krijg je |-6|=6 of |6|=6

|-6| is dus 6

mathfreak · **13-01-2008, 11:50**

Citaat:

Arcedea schreef:

Opgave: bereken |2-8|

Is dat dan -6 en +6 ?

Zo niet, iemand die me kan helpen om het te berekenen?

Er geldt: |x|=x als x groter of gelijk aan 0 is en |x|=-x als x<0. Omdat 2-8=-6 krijgen we: |2-8|=|-6|=-(-6)=6. De absolute waarde van een getal kun je het beste interpreteren als de afstand die dat getal op de getallenlijn tot 0 heeft.

Arcedea · **13-01-2008, 12:02**

Bedankt voor de reacties! Ik begrijp het nu!

ILUsion · **13-01-2008, 17:42**

@Nilssiej: een absolute waarde is steeds positief, ook voor een complex getal.

Zoals mathfreak al zegt: de absolute waarde komt overeen met de afstand tussen de getallen (voor reële getallen gewoon op de getallenas, voor complexe getallen is het de afstand in het vlak en voor vectoren is het de afstand in de ruimte). En absolute waarde wordt vaak ook wel eens de norm (van een vector of complex getal genoemd). Die definitie komt trouwens overeen met de regel van Pythagoras

.

Voor de geïnteresseerden (normaal is een gedeelte hiervan leerstof voor de laatste graad middelbaar in België voor richtingen met zware wiskunde): als je een complex getal $z = a + bi$ hebt, is de norm $|z| = zz^* = z\overline{z} = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Voor een vector: $|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}}$ .

En voor vectoren wordt dat inproduct (dat puntje) gedefinieerd afhankelijk van in welke ruimte je werkt: een gewone Euclidische ruimte (reële componenten), dan is voor cartesische coördinaten $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum a_i b_i$ . Voor een Hilbert-ruimte (complexe componenten), is voor cartesische componenten: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum a_i b_i^* = \sum a_i \overline{b_i}$ . Waarbij dat overstrepen of superscript * duidt op het complex toevoegen van die component. Voor een complex getal $z = a + bi$ is het complex toegevoegde $\overline{z} = z^* = a - bi$ .

mathfreak · **13-01-2008, 20:11**

Citaat:

ILUsion schreef:

@Nilssiej: een absolute waarde is steeds positief, ook voor een complex getal.

Zoals mathfreak al zegt: de absolute waarde komt overeen met de afstand tussen de getallen (voor reële getallen gewoon op de getallenas, voor complexe getallen is het de afstand in het vlak en voor vectoren is het de afstand in de ruimte). En absolute waarde wordt vaak ook wel eens de norm (van een vector of complex getal genoemd). Die definitie komt trouwens overeen met de regel van Pythagoras

.

Voor de geïnteresseerden (normaal is een gedeelte hiervan leerstof voor de laatste graad middelbaar in België voor richtingen met zware wiskunde): als je een complex getal $z = a + bi$ hebt, is de norm $|z| = zz^* = z\overline{z} = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Voor een vector: $|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}}$ .

En voor vectoren wordt dat inproduct (dat puntje) gedefinieerd afhankelijk van in welke ruimte je werkt: een gewone Euclidische ruimte (reële componenten), dan is voor cartesische coördinaten $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum a_i b_i$ . Voor een Hilbert-ruimte (complexe componenten), is voor cartesische componenten: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum a_i b_i^* = \sum a_i \overline{b_i}$ . Waarbij dat overstrepen of superscript * duidt op het complex toevoegen van die component. Voor een complex getal $z = a + bi$ is het complex toegevoegde $\overline{z} = z^* = a - bi$ .

Even een aanvulling: een Hilbertruimte is een bijzonder geval van een unitaire ruimte, ofwel een complexe inproductruimte, omdat een Hilbertruimte volledig is. Een vectorruimte waarop een inwendig product gedefinieerd is heet een pre-Hilbertruimte. Is deze ruimte volledig, dus convergeert iedere fundamentaalrij in zo'n ruimte, dan is deze ruimte een Hilbertruimte.
Laat V een vectorruimte zijn, voorzien van een inproduct, dan wordt door $||\vec{x}||=\sqrt{\vec{x} \cdot \vec{x}}$ een norm vastgelegd. Een inproductruimte is dus een genormeerde ruimte, en een genormeerde ruimte waarin iedere fundamentaalrij convergeert wordt een Banachruimte genoemd. Dit betekent dat een Hilbertruimte ook een Banachruimte is, maar niet omgekeerd.

ILUsion · **13-01-2008, 21:33**

Offtopic: Tja, ik vond het wat simpeler om gewoon te zeggen dat het in een Hilbertruimte geldig was (want in een pre-Hilbert is het inderdaad ook geldig; maar dan moet je al bijna ook de uitleg doen wat nu die ruimte 'pre' maakt). Hier heb ik dat trouwens ook met pre-Hilbertruimtes gezien (met dan een korte vermelding naar volledige ruimtes, Hilbertruimtes en Banachruimtes; al zou ik amper nog geweten hebben wat het verschil zou geweest zijn, allemaal).

Soortgelijke topics
Forum	Topic	Reacties	Laatste bericht
Vrije tijd	Opmerkelijke Sportberichten, deel III Gimme more beer	500	29-09-2006 14:00

13-01-2008, 10:44
Arcedea	Opgave: bereken \|2-8\| Is dat dan -6 en +6 ? Zo niet, iemand die me kan helpen om het te berekenen?

13-01-2008, 12:02
Arcedea	Bedankt voor de reacties! Ik begrijp het nu!

Advertentie