[WI] Iets met eigenwaarden.

[[CP]X-Ray Cat]

Vraaaaaaagje.

Ik moet bewijzen dat: det(AB-IL)=det(BA-IL)

Bewijs:

(1) tr(AB-IL) = tr(BA-IL)

(2) det(AB) = det(BA)

(1), (2) => det(AB-IL)=det(BA-IL)

QED

Tadaa. Klopt dit? Zo nee, hoe zouden jullie dit oplossen?

[ILUsion]

Ik denk wel dat het klopt; maar de enige manier om daar zeker van te zijn, is door gewoon de definities uit te schrijven. Dus AB = C stellen en BA = D, daarvan het spoor (trace) berekenen in indexnotatie (dan kom je inderdaad uit dat die traces gelijk zijn.

det(AB) = det(BA) kom je normaal ook goed uit; (je komt dan zelfs uit op det(A)*det(B), als je tot die formule al zou geraken hoe je maar een van beide definities daarvoor uit te werken (dat volgt dan uit de commutativiteit van scalairen).

En volgens mij volgt het gestelde daar wel uit, vermits het spoor behouden blijft bij orthogonale transformaties. Dus stel dat je det( E(AB-IL)E* ) berekent, kom je uit op det(E) det(AB - IL) 1/det(E) = det(AB - IL). Waarbij E* de inverse (of getransponeerde van E is, vermits orthogonaal). Maar ook dat als je met E die tussenliggende matrix kan diagonaliseren, dat je determinant overeenkomt met het spoor en daarvan heb je aangetoond dat ze allebei identiek zijn. Als je dan via een andere matrix F die BA-IL kan diagonaliseren, dan volgt het gestelde. Het probleem wordt dan echter verschoven: toon maar eens aan dat die diagonaliseerbaar zijn.

[[CP]X-Ray Cat]

Ok, thank you. Hier kan ik wel wat mee.