[WI] Eigenvector vinden van matrix

Hallo, ik heb iets waar ik maar niet uit kom..

Ik moet de eigenvector vinden van de volgende matrix:
()

Ik heb em zelf met de 'veegmethode' (weet niet of ze het overal zo noemen) kunnen herschrijven tot


Ik kom niet verder dan
x+y=0
x+2z=0

De oplossingen blijken te zijn.

Kan iemand me hiermee helpen?

Oja, die matrix is trouwens de matrix waar de eigenwaarde al van de diagonaal is afgetrokken.

[dutch gamer]

[edit]Ow ik zie dat je het eerste stuk zelf al had (ik moet leren lezen), maar het eind is hopelijk wel nuttig. [/edit]

Je begint met de matrix:

2 1 2
2 2 0
1 0 2

Haal eerst één keer de onderste rij van de bovenste rij af:

1 1 0
2 2 0
1 0 2

Vervolgens twee keer de eerste rij van de tweede:

1 1 0
0 0 0
1 0 2

Nu het stelsel matrix*eigenvector = nulvector oplossen. De componenten van de eigenvector noem ik even x, y en z. Dit resulteert in de vergelijkingen:
x + y = 0 en x + 2z = 0. Kies nu x = beta, dan volgt dat y = -beta en z = -beta/2. Dit geeft de eigenvector [beta -beta -beta/2]^T ofwel alpha*[2 -2 -1]^T, met alpha = 2*beta. Dit is het gevraagde antwoord.

Ah, super! Ik snap em helemaal. Bedankt!

[ILUsion]

Bij mij zit dat al vrij ver, maar goed, ik ga een gokje wagen, waarschijnlijk is het niet de meest efficiënte methode, maar goed.

Ik veronderstel dat je vertrekt van een matrix A (zonder de eigenwaardes op de diagonaal afgetrokken), de eigenwaardes krijg je door det(A - LI) = 0 uit te werken (met I de eenheidsmatrix) op te lossen naar de scalair L. Vervolgens kan je de definitie van een eigenvector toepassen: voor een eigenvector X geldt: AX = LX (met L de bijhorende eigenwaarde).




Jouw geval kan ik hiermee dus niet uitwerken, je krijgt dus wel een stelsel dat je op het eerste zicht niet kan oplossen; het eigenlijke oplossen doe je door bv. x=1 te stellen en daarvoor krijg je dan waarden voor y en z (dat is dus die alpha: 1 vrijheidsgraad in de keuze van je eigenvectorcomponenten.

Ik zit even een oefententamen te maken, en ik heb een som waar ik niet helemaal zeker van ben. Zou iemand even mijn antwoord kunnen controleren a.u.b.? Ik zou er erg mee geholpen zijn .

Vraag:

Oefententamen Lineaire Algebra schreef:

1. Gegeven zijn twee vlakken, de ene beschreven door x+y+z=3, de andere door 3x+2y+z=6.
a. Geef een parametervoorstelling voor de snijlijn van de twee vlakken.
b. Geef vectoren die loodrecht staan op de twee vlakken, en gebruik die om de cosinus van de hoek tussen de twee vlakken te berekenen.

Mijn uitwerking:


Antwoord b kan sowieso niet goed zijn, omdat de cos>1, en antwoord a is denk ik ook fout.

Alvast bedankt.

[mathfreak]

Bij a doe je het volgende: stel z=t en los het stelsel op voor x en y. Je vindt dan x en y, uitgedrukt in t, en daarmee heb je dus ook meteen een vectorvoorstelling voor de snijlijn van beide vlakken gevonden.
Bij b moet je delen door het product van de lengten van de normaalvectoren. Jij hebt echter door de som gedeeld, en dat verklaart waarom jouw antwoord bij b niet kan kloppen.

Bedankt! Ik snap b nu, gewoon een domme fout van me.

Maar a.. is het dan gewoon hetzelfde antwoord, alleen vervangen door in het eindantwoord?

[mathfreak]

Jeroenjeroen schreef:

Bedankt! Ik snap b nu, gewoon een domme fout van me.

Maar a.. is het dan gewoon hetzelfde antwoord, alleen vervangen door in het eindantwoord?

Ik loop a even systematisch na aan de hand van de methode die ik noemde. Stel z=t, dan krijgen we het stelsel
x+y=3-t
3*x+2*y=6-t.
Uit de eerste vergelijking volgt: y=-x+3-t. Invullen in de tweede vergelijking geeft: 3*x+2(-x+3-t)=6-t, dus 3*x-2*x+6-2*t=6-t, dus x=t en y=-t+3-t=3-2*t. Je krijgt dus hetzelfde antwoord dat jij ook gaf, maar omdat x (evenals y en z) al als variabele in de vergelijkingen van de vlakken voorkomt is het verstandiger om voor je parameter een andere letter te kiezen, vandaar dus mijn keuze z=t. Het is overigens gebruikelijk om bij de vectorvoorstellingen van lijnen en vlakken eerst de steunvector te noemen en daarna pas de richtingsvector(en) met de bijbehorende parameter(s).

Oké onwijs bedankt! Ik snap het!