[WI] Normale verdeling

Ik moet in een Normale verdeling de Onderste en bovenste 4% nemen, en daar dan het gemiddelde vn uitreken. Het lijkt me dt ik dan terugkom om mijn orriginele gemiddelde, maar hoe bewijs ik dit?

(Gemiddelde = 69, standaartafwijking 7,6)

[ILUsion]

Als je 4% kansmassa moet nemen langs beide kanten, kom je als gemiddelde inderdaad uit hetzelfde uit. Ik weet niet in hoeverre je statistiek gekregen hebt, maar het 'bewijs' lijkt me het makkelijkste als je eerst normaliseert (dus normaalverdeling omzetten in standaardnormaalverdeling z = (x-m)/s). Daarvoor kan je de z-waarden opzoeken waarvan er 4% kansmassa links van ligt en 4% rechts van (=96% links van ligt).

Nu, om een gemiddelde te berekenen, of een verwachtingswaarde, geldt het volgende:

De integratiegrenzen zijn juist hetgene wat je gevonden hebt: van min oneindig tot je eerste grens en dan nog eens van je tweede grens tot + oneindig.

Deze integraal kan je niet echt analytisch uitwerken, maar je kan wel zien dat beide deelintegralen even groot en tegengesteld in teken zijn, zodat je verwachtingswaarde 0 is voor de standaardnormaalverdeling. Denormaliseren en je hebt je antwoord: weer je oorspronkelijk gemiddelde.

De achterliggende uitleg, als je die integralen erachter niet gezien hebt: de normaalverdeling is symmetrisch, dus als je een stuk links van het gemiddelde neemt en het stuk symmetrisch tenopzichte daarvan, kom je weer op het gemiddelde uit: voor elk stukje van de kansmassa links, kan je ook een stukje van die kansmassa rechts vinden. Hierbij is het soms handig om ook te normaliseren, omdat je dan de stukjes links van het gemiddelde (0) moet aftrekken en die er rechts van moet optellen; je ziet ze dan mooi allemaal tegen elkaar wegvallen.