[WI] ith wortel van -i

Swlabr · **16-12-2009, 18:20**

Hoe kun je bewijzen dat $sqrt(-i) = i^i$ ?

Ik dacht aan het volgende:

$sqrt(-i) = x$
$-i = x^i$
$log(-i) = log(x^i) = i log x$
$(log-i)/(i) = log x$
$log(-i)/log(i^i) = log x$
$log(-i - i^i) = log x$

Dus x = -i - iⁱ

Maar het moet iⁱ zijn!

NB: de logs zijn base i.

mathfreak · **16-12-2009, 18:30**

Maak eens gebruik van de formule e^ix = cos x+isin x van Euler.

TD · **16-12-2009, 18:37**

Citaat:

Swlabr schreef:

Hoe kun je bewijzen dat $sqrt(-i) = i^i$ ?

Niet, want deze gelijkheid klopt niet hoor...

Swlabr · **16-12-2009, 18:38**

$sqrt(-e^i^\pi^/^2) = e^-^\pi^/^2$

$-e^i^\pi^/^2 = (e^-^\pi^/^2)^i$

$-e^i^\pi^/^2 = e^-^i^\pi^/^2$

$ln -e^i^\pi^/^2 = ln e^-^i^\pi^/^2$

$(-i\pi)/2 = (-i\pi)/2$

Zoiets?

Oh, de sqrts moeten ith roots zijn, maar ik weet niet hoe dat moet in LaTeX. >.<

Swlabr · **16-12-2009, 18:42**

Sorry, ik moet even duidelijk maken dat het niet square roots zijn, maar ith roots. Dat heb ik niet gedaan in LaTeX omdat ik dus niet wist hoe het moet.

TD · **16-12-2009, 18:44**

Zoek je nu

$i^i$

of

$\sqrt[i]{i} = i^{\frac{1}{i}}$

?

Swlabr · **16-12-2009, 18:45**

Citaat:

TD schreef:

Zoek je nu

$i^i$

of

$\sqrt[i]{i} = i^{\frac{1}{i}}$

?

Ik wil bewijzen dat

$i^i$ = $\sqrt[i]{-i}$

TD · **16-12-2009, 18:46**

Die zijn niet hetzelfde hoor...

Swlabr · **16-12-2009, 18:47**

Nee? >.< Kun je me laten zien hoe je dat weet?

TD · **16-12-2009, 18:53**

Als je de exponentiële notatie kent voor complexe getallen, weet je dat je i kan schrijven als e^(i*pi/2). Maar je mag bij de hoek ook veelvouden van 2.pi bijtellen, dus je kan i op oneindig veel manieren schrijven; namelijk (met k een geheel getal):

$i = {e^{i\left( {\frac{\pi }{2} + 2k\pi } \right)}}$ (*)

Door nu beide leden tot de macht i te doen en rechts rekenregels van machten te gebruiken, krijg je:

$i = {e^{i\left( {\frac{\pi }{2} + 2k\pi } \right)}} \Rightarrow {i^i} = {\left( {{e^{i\left( {\frac{\pi }{2} + 2k\pi } \right)}}} \right)^i} = {e^{ii\left( {\frac{\pi }{2} + 2k\pi } \right)}} = {e^{ - \left( {\frac{\pi }{2} + 2k\pi } \right)}}$

Wat "i^i" is, is dus niet uniek. Elk geheel getal k levert rechts een andere mogelijkheid, maar het zijn wel allemaal reële getallen en dat is toch erg bijzonder. Voor k = 0 krijg je bijvoorbeeld:

${i^i} = {e^{ - {\frac{\pi }{2} }}$

Je kan zelf terug vertrekken van (*) en een macht 1/i nemen om zo'n uitdrukking voor de i-de machtswortel uit i te vinden.

TD · **16-12-2009, 19:04**

Nu ik je oorspronkelijk bericht lees, begrijp ik wat je wil tonen, namelijk:

$\sqrt[i]{-i} = i^i$

Dat is wel iets anders dan wat ik schreef (19:44). Had je je bericht (van 19:45) nog aangepast, of stond dat er al? Anders heb ik slecht gekeken... Dit kan je proberen tonen ja, volg nog steeds de tip uit m'n vorig bericht, alleen moet je dan vertrekken van de exponentiële notatie voor -i.

Swlabr · **16-12-2009, 19:22**

Citaat:

TD schreef:

Nu ik je oorspronkelijk bericht lees, begrijp ik wat je wil tonen, namelijk:

$\sqrt[i]{-i} = i^i$

Dat is wel iets anders dan wat ik schreef (19:44). Had je je bericht (van 19:45) nog aangepast, of stond dat er al? Anders heb ik slecht gekeken... Dit kan je proberen tonen ja, volg nog steeds de tip uit m'n vorig bericht, alleen moet je dan vertrekken van de exponentiële notatie voor -i.

Ja, sorry, ik las niet goed, en ik had het aangepast. Ik zie wel wat je bedoelt, en ik ben even aan het kijken of ik het op jouw manier kan doen!

TD · **16-12-2009, 19:24**

Kan je -i noteren in die exponentiële vorm? Vertrek eventueel van de formule die mathfreak gaf.

Swlabr · **16-12-2009, 19:44**

Is het volgende dan correct?

$-i = {e^{ - {\frac{i\pi }{2} }} \rightarrow \sqrt[i]{-i} = \sqrt[i]{{e^{ - {\frac{i\pi }{2} }}}} = ({e^{ - {\frac{i\pi }{2} }})^{\frac{1}{i}} = e^{\frac{1}{i}*{\frac{-i\pi }{2} }}} = e^{{\frac{i}{2}*-i\pi}} = e^{\frac{-\pi}{2}} = i^i$

TD · **16-12-2009, 19:47**

Als je enkel met die ene mogelijkheid (e^(-pi*/2)) werkt wel ja, maar je weet van hierboven dat er oneindig veel mogelijkheden zijn!

Swlabr · **16-12-2009, 19:53**

Ja, dat realiseerde ik me net, haha. Maar voor k = 0 werkt het wel, dus?

TD · **16-12-2009, 19:54**

Daarvoor werkt het ook, je kan het (zoals ik boven deed) ook algemeen opschrijven.

Swlabr · **16-12-2009, 19:56**

Kun je me vertellen waarom wat ik deed in de openingspost niet werkt?

**16-12-2009, 21:06**

Citaat:

Swlabr schreef:

Ik wil bewijzen dat

$i^i$ = $\sqrt[i]{-i}$

-i=i^-1
q.e.d

**16-12-2009, 21:13**

Inderdaad, wat Lucky zegt.

Swlabr · **16-12-2009, 22:13**

Ik zie waarom dat is, maar laat mij eens zien hoe dat dat wat ik wil bewijzen bewijst.

Arachnia · **16-12-2009, 22:14**

Godnondeju, wat ben ik blij dat ik goed ben met talen.

**17-12-2009, 19:17**

$(-i)^{1/i} = i^{-1/i} = i^i$

Swlabr · **18-12-2009, 15:49**

Dat is erg elegant. Dank jullie wel!

**18-12-2009, 20:45**

Citaat:

Arachnia schreef:

Godnondeju, wat ben ik blij dat ik goed ben met talen.

Ik ben waarschijnlijk beter in talen.

Swlabr · **18-12-2009, 21:05**

Oh, you. Charmer.

Arachnia · **18-12-2009, 21:06**

Citaat:

Kazet Nagorra schreef:

Ik ben waarschijnlijk beter in talen.

Geef me nou dat kleine beetje genoegen.

Chris-Verhoeckx · **21-12-2009, 09:42**

Wiskunde A

Swlabr · **24-12-2009, 03:42**

Citaat:

Swlabr schreef:

Hoe kun je bewijzen dat $sqrt(-i) = i^i$ ?

Ik dacht aan het volgende:

$sqrt(-i) = x$
$-i = x^i$
$log(-i) = log(x^i) = i log x$
$(log-i)/(i) = log x$
$log(-i)/log(i^i) = log x$
$log(-i - i^i) = log x$

Dus x = -i - iⁱ

Maar het moet iⁱ zijn!

NB: de logs zijn base i.

Guise, waarom is dit verkeerd?

**24-12-2009, 13:09**

Met logaritmes moet je heel erg oppassen als je met complexe getallen werkt.

Swlabr · **24-12-2009, 13:52**

Hmm, okelidokeli.

TD · **26-12-2009, 11:09**

Of je nu met of zonder complexe getallen werkt, dit is sowieso fout:

Citaat:

Swlabr schreef:

$log(-i)/log(i^i) = log x$
$log(-i - i^i) = log x$

Je maakt een klassieke fout:
- er geldt wel: log(a/b) = log(a)-log(b),
- maar NIET: log(a-b) = log(a)/log(b).

**26-12-2009, 11:12**

Je bewering dat i=log(i^i) is sowieso niet waar.

TD · **26-12-2009, 11:14**

In grondtal i...?

**26-12-2009, 11:20**

Citaat:

TD schreef:

In grondtal i...?

Het hele verhaal lezen is altijd handig inderdaad

16-12-2009, 18:20
Swlabr	Hoe kun je bewijzen dat $sqrt(-i) = i^i$ ? Ik dacht aan het volgende: $sqrt(-i) = x$ $-i = x^i$ $log(-i) = log(x^i) = i log x$ $(log-i)/(i) = log x$ $log(-i)/log(i^i) = log x$ $log(-i - i^i) = log x$ Dus x = -i - iⁱ Maar het moet iⁱ zijn! NB: de logs zijn base i. __________________ Laziness is nothing more than the habit of resting before you get tired.

16-12-2009, 18:30
mathfreak	Maak eens gebruik van de formule e^ix = cos x+isin x van Euler. __________________ "Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

16-12-2009, 18:38
Swlabr	$sqrt(-e^i^\pi^/^2) = e^-^\pi^/^2$ $-e^i^\pi^/^2 = (e^-^\pi^/^2)^i$ $-e^i^\pi^/^2 = e^-^i^\pi^/^2$ $ln -e^i^\pi^/^2 = ln e^-^i^\pi^/^2$ $(-i\pi)/2 = (-i\pi)/2$ Zoiets? Oh, de sqrts moeten ith roots zijn, maar ik weet niet hoe dat moet in LaTeX. >.< __________________ Laziness is nothing more than the habit of resting before you get tired.

16-12-2009, 18:42
Swlabr	Sorry, ik moet even duidelijk maken dat het niet square roots zijn, maar ith roots. Dat heb ik niet gedaan in LaTeX omdat ik dus niet wist hoe het moet. __________________ Laziness is nothing more than the habit of resting before you get tired.

16-12-2009, 18:44
TD	Zoek je nu $i^i$ of $\sqrt[i]{i} = i^{\frac{1}{i}}$ ? __________________ "God has not created man, but man created God." (L. Feuerbach)

16-12-2009, 18:46
TD	Die zijn niet hetzelfde hoor... __________________ "God has not created man, but man created God." (L. Feuerbach)

16-12-2009, 18:47
Swlabr	Nee? >.< Kun je me laten zien hoe je dat weet? __________________ Laziness is nothing more than the habit of resting before you get tired.

16-12-2009, 19:24
TD	Kan je -i noteren in die exponentiële vorm? Vertrek eventueel van de formule die mathfreak gaf. __________________ "God has not created man, but man created God." (L. Feuerbach)

16-12-2009, 19:44
Swlabr	Is het volgende dan correct? $-i = {e^{ - {\frac{i\pi }{2} }} \rightarrow \sqrt[i]{-i} = \sqrt[i]{{e^{ - {\frac{i\pi }{2} }}}} = ({e^{ - {\frac{i\pi }{2} }})^{\frac{1}{i}} = e^{\frac{1}{i}{\frac{-i\pi }{2} }}} = e^{{\frac{i}{2}-i\pi}} = e^{\frac{-\pi}{2}} = i^i$ __________________ Laziness is nothing more than the habit of resting before you get tired.

16-12-2009, 19:47
TD	Als je enkel met die ene mogelijkheid (e^(-pi*/2)) werkt wel ja, maar je weet van hierboven dat er oneindig veel mogelijkheden zijn! __________________ "God has not created man, but man created God." (L. Feuerbach)

Advertentie

16-12-2009, 19:53
Swlabr	Ja, dat realiseerde ik me net, haha. Maar voor k = 0 werkt het wel, dus? __________________ Laziness is nothing more than the habit of resting before you get tired.

16-12-2009, 19:54
TD	Daarvoor werkt het ook, je kan het (zoals ik boven deed) ook algemeen opschrijven. __________________ "God has not created man, but man created God." (L. Feuerbach)

16-12-2009, 19:56
Swlabr	Kun je me vertellen waarom wat ik deed in de openingspost niet werkt? __________________ Laziness is nothing more than the habit of resting before you get tired.

16-12-2009, 22:13
Swlabr	Ik zie waarom dat is, maar laat mij eens zien hoe dat dat wat ik wil bewijzen bewijst. __________________ Laziness is nothing more than the habit of resting before you get tired.

16-12-2009, 22:14
Arachnia	Godnondeju, wat ben ik blij dat ik goed ben met talen. __________________ But as the disbelieving friend said to the inventive feces powered helicopter. "This shit will not fly."

17-12-2009, 19:17
Verwijderd	$(-i)^{1/i} = i^{-1/i} = i^i$

18-12-2009, 15:49
Swlabr	Dat is erg elegant. Dank jullie wel! __________________ Laziness is nothing more than the habit of resting before you get tired.

18-12-2009, 21:05
Swlabr	Oh, you. Charmer. __________________ Laziness is nothing more than the habit of resting before you get tired.

21-12-2009, 09:42
Chris-Verhoeckx	Wiskunde A __________________ Haters gonn' hate

24-12-2009, 13:09
Verwijderd	Met logaritmes moet je heel erg oppassen als je met complexe getallen werkt.

24-12-2009, 13:52
Swlabr	Hmm, okelidokeli. __________________ Laziness is nothing more than the habit of resting before you get tired.

26-12-2009, 11:12
Verwijderd	Je bewering dat i=log(i^i) is sowieso niet waar.

26-12-2009, 11:14
TD	In grondtal i...? __________________ "God has not created man, but man created God." (L. Feuerbach)