[WI] Lineaire Algebra, orthogonale matrices

[Roosje]

Ik heb komende week tentamen Lineaire Algebra waarvoor ik hard aan 't oefenen ben.

In een oud tentamen kwam ik de volgende opgave tegen:
In deze opgave zijn S, E en B n×n-matrices; S is een orthogonale matrix, E een diagonaalmatrix en B = SES^-1. Bewijs dat B een symmetrische matrix is.

Ik denk dat ik eruit ben gekomen, maar ik weet het niet zeker, en ik ben niet zo goed in het wiskundig opschrijven van bewijzen. Kan iemand voor mij het onderstaande controleren? Is het een geldig bewijs?

B symmetrisch betekent dat B = B^t
S orthogonaal betekent dat S^-1 = S^t
Transponeer de uitdrukking "B = SES^-1" aan beide zijdes --> dit geeft
B^t = (SES^-1)^t = (S^-1)^tE^tS^t = (S^t)^tES^-1 = SES^-1 = B.
Conclusie: B = B^t; B is symmetrisch.

Oh, en daarbij een klein vraagje: je bepaalt de kern/nulruimte van een matrix toch gewoon door de oplossingsverzameling van het homogene stelsel lineaire vergelijkingen dat de matrix is, te bepalen?

[mathfreak]

Je bewijs is inderdaad correct.
Als f een lineaire afbeelding van V naar W is, dan geldt: .

[Roosje]

Dankjewel, duidelijk!

Ik heb direct nog een vraag over een bewijsopgave, waarvan ik intuïtief "weet" dat wat ik moet bewijzen klopt, maar ik heb geen idee hoe ik het op moet schrijven:
Bewijs dat er voor elke surjectieve lineaire afbeelding f: R⁴ --> R³ een lineaire afbeelding g: R³ --> R⁴ bestaat, zó dat de samenstelling van f en g de identiteitsafbeelding is. Waarin R staat voor de verzameling van alle reële getallen.

Mijn gedachtegang is ongeveer als volgt:
Voor elke vector x uit R³ bestaat een vector y uit R⁴ zó, dat f(y) = x (dit volgt uit het feit dat f surjectief is). De samengestelde afbeelding van f en g heeft dus betrekking op álle x uit R³ en álle y uit R⁴.
De lineaire afbeelding f kan samengevat worden als een matrixvermenigvuldiging --> dergelijke matrices zijn inverteerbaar; de matrix die bij g hoort is de inverse van de matrix van f (want gaat weer "terug" naar R⁴) en dientengevolge is M_fM_g = M_fM_f^-1 = I⁴.

Klopt mijn redenering? En hoe zou ik het mooi wiskundig op moeten schrijven?

[mathfreak]

Wat betreft de matrices klopt je redenering niet. Een matrix is namelijk alleen inverteerbaar als het een vierkante matrix is waarvan de determinant niet 0 is, en in dit geval heb je 2 niet-vierkante matrices, die als product echter een eenheidsmatrix I₄ op moeten leveren. Stel M is de matrix die de afbeelding f definieert en N is de matrix die de afbeelding g definieert, dan weet je dat M·N = I₄.
Ga nu uit van een gegeven M en zoek daarbij een N met M·N = I₄, dus toon aan dat er bij een gegeven M, die een surjectieve afbeelding f definieert, een N te vinden is die een afbeelding g definieert, zodat de samengestelde afbeelding van f en g een identieke afbeelding oplevert.