[NA] Max. vermogen bepalen door weerstand te variëren: hoe zet ik dit in een excelgrafiek?

Ik moet van een energieopwekkend apparaat het maximale vermogen bepalen. Dit moet gebeuren door een schakeling te maken met het apparaat, een weerstand, en een twee multimeters om I en U af te lezen erin. Door de weerstand te variëren, veranderen ook U en I over/door het apparaat en kan dus een bepaalde waarde van de weerstand ontdekt worden waarbij het vermogen het hoogst is, omdat dat het product van U en I is. Daarvoor moet je dus een bij een aantal weerstandswaarden de I en U aflezen, dit in een tabel zetten met de weerstandswaarde erbij, en vervolgens I*U=P toepassen om het vermogen van het apparaat te berekenen.

Ik moet nu volgens de opdracht dus een I,U karakteristiek maken, en daar het maximale vermogen uithalen. Maar een I,U grafiek, daar haal je het maximale vermogen toch helemaal niet uit? En hoe betrek ik dan de weerstandswaarde waarbij dit vermogen maximaal is erbij? Kortom, hoe zet ik al deze gegevens mooi in een excel-grafiek, wat moet ik dan tegen elkaar uitzitten?

[Mr.Mark]

Misschien U*I uitzetten tegen R?
Dat je dus bij elke 'meting' even U*I uitrekent. Dat dan voor verschillende waarden van R en dan heb je een leuke grafiek.

[Dark_One]

Je kunt het maximale vermogen wel uit een I,U karakteristiek halen. Het is alleen niet zo makkelijk als met Mark zijn methode. Het maximale vermogen zal trouwens waarschijnlijk bij R=0 optreden (kortsluiting).

U*I=I^2*R=U^2/R=U^2.dU/dI
maximaal wil zeggen dP/dI=0
dus:

[Mr.Mark]

Dark_One schreef:

Je kunt bovenstaande conditie omschrijven naar (om het nog wat ingewikkelder te maken als je het niet kan volgen vraag maar aan Mr. Mark ):

Ik heb er een tijdje naar gekeken maar ik zie het nog niet. Volgens mij doe ik iets fout. Wat mis ik?

[Dark_One]

Ik had een foutje gemaakt:

Maar je kunt dus wel kijken of U^2/dU/dI constant blijft. Op het punt van het maximale vermogen zou dat het geval moeten zijn

[ILUsion]

Even een aanvulling: als je die bron uitmeet door er die weerstand aan te hangen en de stroom door de weerstand en de spanning over de weerstand te meten, kom je GEEN maximaal vermogen uit bij een stroom gelijk aan 0. Makkelijk te zien ook:

U=I*R, bij R = 0 zal U dus ook 0 zijn en vermits P=U*I, is het vermogen gedissipeerd in die (nul)weerstand ook 0.

Je zal wel degelijk 1 bepaalde waarde vinden waarbij het vermogen maximaal is, die waarde zou moeten overeenkomen met de uitgangsweerstand van je bron.

[Dark_One]

ILUsion schreef:

Even een aanvulling: als je die bron uitmeet door er die weerstand aan te hangen en de stroom door de weerstand en de spanning over de weerstand te meten, kom je GEEN maximaal vermogen uit bij een stroom gelijk aan 0. Makkelijk te zien ook:

U=I*R, bij R = 0 zal U dus ook 0 zijn en vermits P=U*I, is het vermogen gedissipeerd in die (nul)weerstand ook 0.

Je zal wel degelijk 1 bepaalde waarde vinden waarbij het vermogen maximaal is, die waarde zou moeten overeenkomen met de uitgangsweerstand van je bron.

Tenzij I naar oneindig gaat, wat zal gebeuren als je de weerstand naar 0 laat gaan en een spanning er op houdt. Het hangt er dus maar net vanaf of de bron een spanningsbron is, of een stroombron. Hiervoor geldt I=U/R, R->0 betekent I->oneindig. U gaat niet naar 0 omdat er een interne weerstand in je bron zit (of iig zo gemodelleerd kan worden) die parallel staat met de andere weerstand. Dus P=U*I gaat naar oneindig.

Elke niet ideale bron (stroom of spanning) kan overigens volgens de stelling van Thévenin als een niet ideale spanningsbron gezien worden.

[cartman666]

En daar de voeding ongetwijfeld gewoon op 230V aangesloten zit met een stop van 16A erin kan het ingaande vermogen niet meer dan 3.7 KW zijn, dus dan heb je een perpetuum mobile! (om maar even de beweringen van Dark_One in het absurde te trekken)

Ik denk dat er wel een optimum is, en dat dat niet zal liggen bij R=0. Alleen al omdat R=0 niet bestaat tenzij je supergeleiders gebruikt. Waarschijnlijk is het ding gebouwd op een bepaald spannings en stroom gebied. Om en nabij dat gebied zou ik een optimaal vermogen verwachten, of in elk geval een optimaal rendement. (twee geheel verschillende dingen)

[Dark_One]

Ik volg je redenatie niet helemaal? als je een ideale stroombron aanneemt gaat er geen energie verloren dus zou je kunnen spreken van een perpetuum mobile... maar ik zie mij nergens beweren dat dit het geval zou zijn? Ik spreek zelfs over een interne weerstand in de spanningsbron waardoor er dus energie gedissipeerd zal worden en er dus geen sprake is van een perpetuum mobile... Tenzij je zorgt dat de stroom niet meer door je weerstand gaat (dmv een kortsluiting), wederom is dit in het niet-ideale geval niet mogelijk.

Overigens ging het hier om een "energieopwekkend apparaat" dus ik neem aan dat deze niet op het spanningsnet aangesloten zit.

Het maximale rendement van je stroombron zal misschien niet liggen bij R=0, maar het maximale vermogen dat door je weerstand gaat ligt wel bij zo laag mogelijke weerstand. Je systeem kan immers gemodelleerd worden met 2 parallele weerstanden (de interne en de externe). De spanning over beide is gelijk, de stroom neemt toe als de weerstand afneemt dus hoe kleiner de weerstand hoe groter deel van het gecreëerde vermogen door je weerstand zal gaan.

In het niet-ideale geval zal je weerstand echter nooit naar 0 gaan omdat je te maken hebt met je interne weerstand (in serie).

[cartman666]

Oke, misschien was ik wat te kort door de bocht. Een ideale spanningsbron zal bij R=0 I=oneindig moeten leveren, een ideale stroombron zal bij R=0 U=0 moeten leveren. De eerste situatie is onmogelijk omdat er oneindig vermogen geleverd zou moeten zijn, bij de tweede is er geen vermogen geleverd.

In de praktijk zakt ook bij een semi-ideale spanningsbron onder een bepaalde weerstand de spanning in, en voor een semi-ideale stroombron zal de stroom boven een bepaalde weerstand wegvallen. Het punt waarop dat gebeurt kan je bepalen, en waarschijnlijk ligt ergens daarna het optimale vermogen. Dat punt kan echter niet liggen op R=0 omdat dan U=0 (stroombron) of I=0 (spanningsbron).

Tenminste, dat maak ik van deze proef. Ik heb geen electrotechniek gestudeerd oid, misschien weet jij meer dan ik.

[Dark_One]

Niet-ideale bron:


De spanning over je weerstand is Ubron-I*Rbron. Vermogen door weerstand is Ubron*I-I^2Rbron invullen van: I=Ubron/(R+Rbron) geeft:



dus dP/dR=0 voor R=Rbron

In het niet ideale geval bepaal je zo de interne weerstand van je bron. (zoals ILUsion ook al aangaf)

Je vermogen is dan overigens Ubron^2/2(Rbron+R) dus de helft van het vermogen wat je bron werkelijk levert, oftewel 50% rendement...

[ILUsion]

Dark_One schreef:

Tenzij I naar oneindig gaat, wat zal gebeuren als je de weerstand naar 0 laat gaan en een spanning er op houdt. Het hangt er dus maar net vanaf of de bron een spanningsbron is, of een stroombron. Hiervoor geldt I=U/R, R->0 betekent I->oneindig. U gaat niet naar 0 omdat er een interne weerstand in je bron zit (of iig zo gemodelleerd kan worden) die parallel staat met de andere weerstand. Dus P=U*I gaat naar oneindig.

Elke niet ideale bron (stroom of spanning) kan overigens volgens de stelling van Thévenin als een niet ideale spanningsbron gezien worden.

Op het moment dat je stroom naar ondeindig gaat, branden je kabels (of je interne bronweerstand) door tenzij je veronderstelt dat ze een oneindige doorsnede hebben.

R = 0 impliceert al dat in het elektrostatisch geval er geen spanningsverschil kan ontstaan, door R = 0 te stellen, heb je immers een equipotentiaal gemaakt. Niet dat het elektrodynamisch geval betere vooruitzichten geeft; van het moment dat je een spanning over een nulweerstand (verdeeld of geconcentreerd) wilt plaatsen, moet je veronderstellen dat de stroom oneindig is en dat is iets dat technisch niet mogelijk is.
De U in je model is bovendien niet de spanningsval over de bronweerstand maar over de belastingsweerstand R = 0; je berekening gaat daar dus helemaal niet op:
R = 0. U = I*R, U is 0 tenzij I oneindig wordt, wat in elke praktische situatie niet kan doordat je geen ideale spanningsbron of stroombron kan maken, geen ideale componenten die oneindig veel stroom/vermogen kunnen opnemen.

Dark_One schreef:

Ik volg je redenatie niet helemaal? als je een ideale stroombron aanneemt gaat er geen energie verloren dus zou je kunnen spreken van een perpetuum mobile... maar ik zie mij nergens beweren dat dit het geval zou zijn? Ik spreek zelfs over een interne weerstand in de spanningsbron waardoor er dus energie gedissipeerd zal worden en er dus geen sprake is van een perpetuum mobile... Tenzij je zorgt dat de stroom niet meer door je weerstand gaat (dmv een kortsluiting), wederom is dit in het niet-ideale geval niet mogelijk.

Overigens ging het hier om een "energieopwekkend apparaat" dus ik neem aan dat deze niet op het spanningsnet aangesloten zit.

Het maximale rendement van je stroombron zal misschien niet liggen bij R=0, maar het maximale vermogen dat door je weerstand gaat ligt wel bij zo laag mogelijke weerstand. Je systeem kan immers gemodelleerd worden met 2 parallele weerstanden (de interne en de externe). De spanning over beide is gelijk, de stroom neemt toe als de weerstand afneemt dus hoe kleiner de weerstand hoe groter deel van het gecreëerde vermogen door je weerstand zal gaan.

In het niet-ideale geval zal je weerstand echter nooit naar 0 gaan omdat je te maken hebt met je interne weerstand (in serie).

Je misbruikt de stellingen van Norton en Thévenin een beetje (beter gezegd: je gebruikt de Norton-topologie met een spanningsbron, wat fout is). In bijlage zie je een schematische voorstelling van equivalente niet-ideale bronnen (dus de enige soort bronnen die realiseerbaar zijn; als we even dynamica buiten beschouwing laten voor alle eenvoud; want dan wordt het nog pessimistischer).

De stelling van Thévenin stelt inderdaad dat je een niet-ideale bron kan vervangen door een spanningsbron met een bronweerstand in serie. De stelling van Norton is het duale; dezelfde bron is evenwaardig met een stroombron (driehoek in mijn tekening bij gebrek aan beter symbool) in parallel met dezelfde bronweerstand als daarnet.

Als we de belastingsweerstand R naar 0 laten gaan, krijgen we in het ene geval dat de totale weerstand Req = Rbron, het vermogen gedissipeerd in R is 0 (P=U*I=I²R =0). In het Norton-geval, heb je zoals je zegt 2 parallelweerstanden, als daar R = 0 voorkomt, moeten we de stroom in beide takken bepalen. De stroom zal zich evenredig met de geleidbaarheid (1/weerstand) van elke tak verdelen: in de tak waar R = 0 (een kortsluiting), zal dus alle stroom lopen vermits de geleidbaarheid oneindig is. Er loopt dus geen stroom door de bronweerstand en er wordt in geen van beide weerstanden vermogen verbruikt.

Dark_One schreef:

Niet-ideale bron:
[afbeelding]


De spanning over je weerstand is Ubron-I*Rbron. Vermogen door weerstand is Ubron*I-I^2Rbron invullen van: I=Ubron/(R+Rbron) geeft:



dus dP/dR=0 voor R=Rbron

In het niet ideale geval bepaal je zo de interne weerstand van je bron. (zoals ILUsion ook al aangaf)

Je vermogen is dan overigens Ubron^2/2(Rbron+R) dus de helft van het vermogen wat je bron werkelijk levert, oftewel 50% rendement...

Met dat laatste kan ik enkel instemmen en dat resultaat had ik bewust verzwegen. Op het moment dat R = Rbron, kom je het maximale (nuttig) vermogen uit en dat zorgt ervoor dat je rendement 50% is. Ik heb in bijlage een grafiek gestoken waarop het verloop van het vermogen weergegeven staat voor verschillende weerstandswaarden, zoals berekend met onderstaande (MATLAB)-code gebaseerd op het Théveninequivalent. Je ziet dat voor R/Rbron = 1 (dus R = Rbron) het nuttige vermogen een maximum bereikt, in dit geval geeft dat een vermogen van 0.25W terwijl het totaal vermogen 0.5W is, dus 50% rendement.

Rbron = 1; %bronweerstand
R = 0:0.1:10; % belastingsweerstand
r = R./Rbron; % weerstandsverhouding
V = 1; % theveninbron van 1V
I = V./(R+Rbron); % stroom door serieschakeling
U = I.*R; % spanning over belastingsweerstand
% stroom in een serietak is gelijk
Ptotaal = V.*I; 
Pnuttig = U.*I; 
rendement = Pnuttig./Ptotaal;

figure;

plot(r,Pnuttig,'b','DisplayName','nuttig vermogen'); hold on;
plot(r,Ptotaal,'r','DisplayName','totaal vermogen'); hold off;
xlabel('R/R_{bron}'); ylabel('P [Watt]'); legend show;

Misschien om ontopic te gaan wat betreft de I,U-grafiek. Je kan het vermogen daarop aflezen door vanuit een punt (i,u) op de grafiek een rechthoek te trekken naar de oorsprong; de oppervlakte daarvan komt overeen met het vermogen. Om dat echter te maximaliseren op een grafische manier; ik zou het niet weten hoe dat kan. Maar wat je er wel uit kan aflezen direct is dat je voor I = 0 geen vermogen hebt en voor U = 0 ook geen vermogen en dat als je I of U opvoert (door R te laten afnemen (bij I=0 is R oneindig groot) of door R te laten toenemen (bij U = 0 is R = 0) vanuit een van beide punten).

[Dark_One]

ILUsion schreef:

Je misbruikt de stellingen van Norton en Thévenin een beetje (beter gezegd: je gebruikt de Norton-topologie met een spanningsbron, wat fout is). In bijlage zie je een schematische voorstelling van equivalente niet-ideale bronnen (dus de enige soort bronnen die realiseerbaar zijn; als we even dynamica buiten beschouwing laten voor alle eenvoud; want dan wordt het nog pessimistischer).

Je hebt helemaal gelijk, mijn excuses. Het is denk ik al iets te lang geleden voor me . Pff dat voelt oud dat ik dat als 22 jarige al moet zeggen ><

[ILUsion]

Dark_One schreef:

Je hebt helemaal gelijk, mijn excuses. Het is denk ik al iets te lang geleden voor me . Pff dat voelt oud dat ik dat als 22 jarige al moet zeggen ><

Hehe, op die leeftijd had ik daar ook al last van, hoor. Gebeurt ons allemaal wel eens