[WI] Niet-coplanair vgl bol + vraagstuk

[GotYa]

Hallo,

Ik heb vraag i.v.m. de volgende opdracht. "Onderzoek of de gegevens punten niet-coplanair zijn en stel in dat geval een vergelijking op van de bol."

P1(-2, 5, 1), P2(3, 2, 1), P3(-5, 3, 1) en P4(-1, 0, 1)
Volgens mij liggen deze punten in de volgende vlakken: xyz-vlak, xyz-vlak, xyzvlak en tot slot xz-vlak.

Ik weet echter niet zeker of deze al dan niet coplanair zijn. Daarom heb ik het uitgewerkt.

Er van uitgaande dat P1, P2, P3 en P4 op mijn bol liggen ben ik in staat het volgende te doen:

voor punt 1
2a(-2) + 2b.5 + 2c.1 + d = 2² + 5² + 1²
= -4a + 10b + 2c + d = 30

punt 2
= 6a + 4b + 2c + d = 14

punt 3
= -10a + 6b + 2c +d = 35

En tot slot voor punt 4
= -2a + 2c + d = 2

Deze vier vergelijkingen plaats ik in een stelsel, daarna maak ik er een matrix van. Deze matrix is echter niet oplosbaar (een vals stelsel)

Eerst en vooral is dit juist? Zo ja, kan ik dan concluderen dat deze punten niet coplanair zijn?


Om af te sluiten heb ik nog een vraagstuk waar ik kop noch staart van krijg:

"Gegeven een bol met stral r. Van die bol worden zes even grote bolsgementen afgesneden, die elkaar raken. Gevraagd de inhoud van de figuur (die gelijk op op een dobbelsteen) die overblijft. Welk percentage van de inhoud van de bol blijft dan over?"

Kan iemand me op weg zetten?

[ILUsion]

GotYa schreef:

Hallo,

Ik heb vraag i.v.m. de volgende opdracht. "Onderzoek of de gegevens punten niet-coplanair zijn en stel in dat geval een vergelijking op van de bol."

P1(-2, 5, 1), P2(3, 2, 1), P3(-5, 3, 1) en P4(-1, 0, 1)
Volgens mij liggen deze punten in de volgende vlakken: xyz-vlak, xyz-vlak, xyzvlak en tot slot xz-vlak.

Fout. Er bestaat niet zoiets als het xyz-vlak: je geeft daar 3 assen, dus dat is een hypervlak (eenvoudiger gezegd: gewoon 3D ruimte). Een vlak heeft altijd 2 (!) coördinaten, dus kan je sommige vlakken aanduiden als xy, xz of yz (als die assen en het vlak goed gelegen zijn). Het punt P4 ligt inderdaad wel in het xz-vlak vermits daar y = 0.

Goed onthouden dus: een vlak heeft 2 vrijheidsgraden (bv. op de vloer (vlak) kan je ook maar 2 richtingen uitgaan: vooruit/achteruit of links/rechts).

Ik weet echter niet zeker of deze al dan niet coplanair zijn. Daarom heb ik het uitgewerkt.

Om na te gaan of de punten coplanair zijn, moet je nagaan of ze allemaal in hetzelfde vlak liggen. Dat P4 in het xz-vlak ligt en de rest niet wilt NIET zeggen dat ze niet coplanair kunnen zijn: door elk punt kan je immers oneindig veel vlakken tekenen (bv. het punt (0,0,0) ligt zowel in het xz, xy als het yz-vlak, maar ook in heel veel andere vlakken). Om daar een voorbeeld van te geven: van de punten (1,2,1) (1,3,2) (1,4,3) en (1,1,0) ligt er maar 1 punt in het xy-vlak (het laatste punt), maar ze zijn wél coplanair (je kan zo op het zicht al zien dat ze in het vlak met vergelijking (x=0) liggen).

Daarnet heb ik gezegd dat een vlak 2 vrijheidsgraden heeft, dat wilt zeggen dat je door elke 3 punten een vlak kan tekenen. (Net zoals bij een rechte: 1 vrijheidsgraad, maar je hebt 2 punten nodig om er een rechte door te kunnen tekenen). Neem dus bv. je 3 eerste punten, stel de vergelijking van het vlak door die punten op. Om punt 4 ook erbij te halen, moet je gewoon zien of dat in hetzelfde vlak ligt: punten 1 tot 3 delen sowieso een vlak, als punt 4 in datzelfde vlak ligt, liggen ze allemaal in datzelfde vlak. (Je kan ook beginnen met de vergelijking van het vlak door een andere combinatie van 3 punten van de 4 te nemen en te kijken of het andere in hetzelfde vlak ligt, dat is exact hetzelfde). Hoe je kijkt of een punt in een vlak ligt: zijn coördinaten invullen in de vergelijking van het vlak en zien of de vergelijking uitkomt (als het uitkomt, ligt het punt in het vlak, anders niet).


Een trucje om de vergelijking van een vlak op te stellen, is het volgende, als je een vlak hebt door de punten Pi(xi,yi,zi) (met i = 1,2 of 3), dan krijg je de vergelijking van het vlak als volgt:


Om coplanairiteit na te gaan kan je voor die x, y en z dus de coördinaten van P4 invullen en uitwerken. Als die determinant echt op 0 uitkomt, liggen de punten in hetzelfde vlak (dus coplanair).

Er van uitgaande dat P1, P2, P3 en P4 op mijn bol liggen ben ik in staat het volgende te doen:

voor punt 1
2a(-2) + 2b.5 + 2c.1 + d = 2² + 5² + 1²
= -4a + 10b + 2c + d = 30

punt 2
= 6a + 4b + 2c + d = 14

punt 3
= -10a + 6b + 2c +d = 35

En tot slot voor punt 4
= -2a + 2c + d = 2

Deze vier vergelijkingen plaats ik in een stelsel, daarna maak ik er een matrix van. Deze matrix is echter niet oplosbaar (een vals stelsel)

Eerst en vooral is dit juist? Zo ja, kan ik dan concluderen dat deze punten niet coplanair zijn?

Het klopt inderdaad dat je door 4 coplanaire punten geen oplossing voor je stelsel zal krijgen (ik weet echter niet wat je met een vals stelsel bedoelt: bedoel je strijdig of onbepaald?). Zo op het eerste zicht (ruimtemeetkunde zit ver) krijg je een strijdig stelsel als de 4 punten coplanair zijn, maar als ze coplanair zijn én op eenzelfde cirkel liggen, krijg je een onbepaald stelsel waarmee je dus oneindig veel oplossingen krijgt. Om dat grafisch voor te stellen: neem een hoepel (of een ring, ...) als cirkel waarop je 4 punten liggen en probeer dat op balletjes (bol) van verschillende grootte te passen. Je zal zien dat de cirkel past op elke bol waarvan de diameter minstens even groot is als die van de cirkel. Vervorm de cirkel en de bol zal niet meer perfect passen.

(Als er meerdere van je punten samenvallen, krijg je trouwens ook een onbepaald stelsel.)

Om af te sluiten heb ik nog een vraagstuk waar ik kop noch staart van krijg:

"Gegeven een bol met stral r. Van die bol worden zes even grote bolsgementen afgesneden, die elkaar raken. Gevraagd de inhoud van de figuur (die gelijk op op een dobbelsteen) die overblijft. Welk percentage van de inhoud van de bol blijft dan over?"

Kan iemand me op weg zetten?

Probeer dat eerst grafisch te doen en in 2D: met een cirkel en een vierkant; daarna kan je naar 3D gaan. Eenmaal je het 2D-geval kan bepalen (verhouding van de oppervlaktes), gebruik je een gelijkaardige werkwijze voor de bol.

De figuur die je overhoudt is trouwens een kubus, geen dobbelsteen

[GotYa]

Mijn excuses voor de late reactie. Bedankt! Ik zie nu inderdaad een paar logische fouten in. Het vraagstuk heb ik intussen gevonden. Ik heb de inhoud van de bol bepaald en die van de kubus. Daar dat te delen kom ik netjes het percentage uit.

Nogmaals dank!