[WI] Ruimtemeetkunde, klopt mijn redenering?

[GotYa]

Hallo,

Ik zit hier met een opdracht waarvan ik niet zeker ben van de juiste methode. De vraag luidt: stel de middelpuntsvergelijking en de algemene vergelijking van de bol op met middellijn [AB] met en

Ik vermoed dat ik dan met de coördinaten aan de slag moet. Meer bepaalde AB: . Of uitgewerkt: en dat is gelijk aan: .

Dan redeneer ik, het middelpunt dient dus de helft van die coördinaten te zijn. Ik vermenigvuldig dus met 0,5. (of deel door 2). Dit geeft mij M(1, 6, -4).

Uit de algemene formule ga ik mijn straal bepalen:
. Uitgewerkt geeft dit als oplossing: r = 7,28.

De middelpuntsvergelijking is dus volgens mij:


Klopt mijn redenering. Zo ja, dan is het een fluitje van een cent om mijn algemene vergelijking op te starten. Zo niet, wat doe ik verkeerd?

Alvast bedankt,
GotYa

[GotYa]

En nog een gelijkaardige vraag. Bepaalde onderlinge ligging van de rechte a en de bol b(M, r).

a heeft als (cartesiaans stelsel) x + z = 6 en y = 1. b(M,r) heeft als algemene vgl. x² + y² -6x -8y - 10z + 21 = 0

Ik zet dit alles in een stelsel, en ik stel dat X = 6 - Z. Daarna pas ik substitutie toe. Ik kom (volledig uitgewerkt) het volgende uit: 2x² - 28x - 10 = 0.

Ik bepaald hiervan de discriminant en daarmee mijn x1 en x2. Deze zijn respectievelijk 14,35 en -0,35.

Daaruit besluit ik dat ik twee snijpunten heb, namelijk:
S1(14,35;1;-8,35) en S2(-0,35;1;5,65)

Klopt ook deze redenering?

[ILUsion]

GotYa schreef:

Hallo,

Ik zit hier met een opdracht waarvan ik niet zeker ben van de juiste methode. De vraag luidt: stel de middelpuntsvergelijking en de algemene vergelijking van de bol op met middellijn [AB] met en

Ik vermoed dat ik dan met de coördinaten aan de slag moet. Meer bepaalde AB: . Of uitgewerkt: en dat is gelijk aan: .

Dan redeneer ik, het middelpunt dient dus de helft van die coördinaten te zijn. Ik vermenigvuldig dus met 0,5. (of deel door 2). Dit geeft mij M(1, 6, -4).

Uit de algemene formule ga ik mijn straal bepalen:
. Uitgewerkt geeft dit als oplossing: r = 7,28.

De middelpuntsvergelijking is dus volgens mij:


Klopt mijn redenering. Zo ja, dan is het een fluitje van een cent om mijn algemene vergelijking op te starten. Zo niet, wat doe ik verkeerd?

Alvast bedankt,
GotYa

A en B liggen op de bol op een middellijn, dus dat wilt zeggen dat het centrum C in het midden tussen A en B ligt, dus op C = (A+B)/2:

>> A = [3 -5 6];
>> B = [5 7 -2];
>> C = (A+B)/2
C =
     4     1     2
>> r2 = norm(B-C)^2
r2 =
       53

De vergelijking die je dus moet uitkomen is
(x-4)² + (y-1)² + (z-2)² = 53. De functie norm is gewoon de Euclidische afstand (zoals je zelf ook al gaf).

GotYa schreef:

En nog een gelijkaardige vraag. Bepaalde onderlinge ligging van de rechte a en de bol b(M, r).

a heeft als (cartesiaans stelsel) x + z = 6 en y = 1. b(M,r) heeft als algemene vgl. x² + y² -6x -8y - 10z + 21 = 0

Ik zet dit alles in een stelsel, en ik stel dat X = 6 - Z. Daarna pas ik substitutie toe. Ik kom (volledig uitgewerkt) het volgende uit: 2x² - 28x - 10 = 0.

Ik bepaald hiervan de discriminant en daarmee mijn x1 en x2. Deze zijn respectievelijk 14,35 en -0,35.

Daaruit besluit ik dat ik twee snijpunten heb, namelijk:
S1(14,35;1;-8,35) en S2(-0,35;1;5,65)

Klopt ook deze redenering?

De vergelijking van je bol klopt niet zoals daar geschreven (er ontbreekt een term in z²). Maar zoals je je redenering uitlegt, klopt het wel:
snijpunten worden gegeven door de stelsels en/of vergelijkingen van de lichamen samen te voegen en uit te werken. Daaruit heb je 1 coördinaat van de punten, die kan je weer invullen in één of meerdere vergelijkingen om de rest te bepalen (hier is die rechte het makkelijkste). Je kan trouwens zelf ook alles controleren: vul je uitkomsten gewoon in zowel de vergelijking van de bol als die van je rechte; als je uitkomst klopt (of maar heel weinig afwijkt van wat je verwacht), is je oplossing correct.

[GotYa]

Bedankt!

Ik ga het even bekijken, als ik er niet uit kom, laat ik het weten :-).

[GotYa]

Ik had inderdaad een fout in mijn uitwerking.

Nu kom ik als vergelijk 2x² -8x - 10 = 0 uit. Als ik daaruit mijn x1 en x2 haal, en dat ingeef bekom ik de volgende snijpunten:
S1(-34; 1; 40) en S2(38; 1; -32)

Hoe kan ik dit echter controleren, ik begrijp jouw methode niet zo goed.

[ILUsion]

Gewoon invullen in elke vergelijking die je maar tegenkomt (en relevant is het voor het probleem natuurlijk).

Voor de rechte:
x + z = 6 en y = 1
je punten (x,y,z) invullen en je ziet dat beide punten op de rechte liggen want -34 + 40 == 6 en 1 = 1 (voor het eerste punt) en voor het tweede punt 38 + -32 = 6 en 1 = 1.

Met je bol kan ik je niet helpen omdat er een fout in die vergelijking ervan staat; maar daar is het is helemaal analoog.

Vrij simpel allemaal, het voorkomt dat je rekenfouten laat staan, maar de meeste mensen nemen de tijd niet om het te doen (ik meestal ook niet trouwens), want het is immers dubbel rekenwerk.

Op het moment dat je met ingewikkeldere vergelijkingen werkt (wortels, machten, exponenten), zal je bij het invullen vaak kommagetallen uitkomen, als je dan het punt (0.14, 1.01, 5.85) uitkomt en je zou het ergens invullen (bv. in de vergelijking van de rechte), zal je misschien niet helemaal exact uitkomen wat je verwacht, maar dat mag gerust (het punt dat ik daar geef licht bv. net naast de rechte, je kan al wel gokken dat het y-coördinaat gewoon 1 zal moeten zijn en de andere coördinaten zijn op een honderste na ook in orde).

[GotYa]

Bedankt :-)