[WI] normale verdeling

[Charity's]

hoi


ik snap de vuistregels van de normale verdeling niet helemaal.
kan iemand mij uitleggen hoe ze in deze opdracht aan 0,8 en 0,6 komen?

[Tochjo]

Als je het gemiddelde van de normale verdeling m noemt en de standaardafwijking s, dan zeggen de vuistregels dat ongeveer 68% van de waarnemingen tussen m-s en m+s zit, en ook dat ongeveer 95% van de waarnemingen tussen m-2s en m+2s zit. Voorbeeldje: bij een normale verdeling met gemiddelde m = 15 en een standaardafwijking van s = 3, zit dus ongeveer 95% van de waarnemingen tussen 9 en 21.

In de tabel staat dat 15,7 procent van de gewichten in de klasse 53-57 zit. Let op de klassegrenzen: in deze klasse zitten alle gewichten groter dan of gelijk aan 52,5 kilo en kleiner dan 57,5 kilo. Als je aanneemt dat de gemeten gewichten netjes verdeeld zijn over deze klasse, dan zit bijvoorbeeld de helft van die 15,7 procent dus tussen 52,5 en 55. Dat komt overeen met 0,5 x 15,7 = 7,85 procent. Evenzo verwacht je dat tussen 54,5 en 57,5 ongeveer 0,6 x 15,7 = 9,42 procent van de gewichten zit (want de klasse 53-57 bestaat uit tien stukjes van een halve kilo en tussen 54,5 en 57,5 zitten 6 van de 10 stukjes).

Waarom is dit belangrijk? Wel, de vuistregels stellen dat ongeveer 68% van de waarnemingen tussen m-s = 54,5 en m+s = 71,5 zit. Om te controleren of dat zo is (en we dus te maken kunnen hebben met een normale verdeling), moeten we kijken hoeveel procent van de waarnemingen volgens de tabel tussen die waarden zit. Dat is dus de hele klasse 58-62 en 63-67, en van de klasse 53-57 is dat 6/10-de deel, en van de klasse 68-72 is dat 8/10-de deel.

[mathfreak]

Met behulp van een tabel van de standaardnormale verdeling kun je de percentages voor de vuistregel zelf vinden. Er geldt: en . Afronden op gehele percentages geeft je het percentage bij iedere vuistregel.

[the economist]

eh mathfreak, ik ben bang dat wanneer iemand hier een vraag stelt over wiskunde, dat dan jouw wiskundig eloquente, edoch in gewoon Nederlands moeilijk te bevatten post niet ten volle zal bijdragen aan het beantwoorden van de vraag.

[Charity's]

Tochjo schreef:

Als je het gemiddelde van de normale verdeling m noemt en de standaardafwijking s, dan zeggen de vuistregels dat ongeveer 68% van de waarnemingen tussen m-s en m+s zit, en ook dat ongeveer 95% van de waarnemingen tussen m-2s en m+2s zit. Voorbeeldje: bij een normale verdeling met gemiddelde m = 15 en een standaardafwijking van s = 3, zit dus ongeveer 95% van de waarnemingen tussen 9 en 21.

In de tabel staat dat 15,7 procent van de gewichten in de klasse 53-57 zit. Let op de klassegrenzen: in deze klasse zitten alle gewichten groter dan of gelijk aan 52,5 kilo en kleiner dan 57,5 kilo. Als je aanneemt dat de gemeten gewichten netjes verdeeld zijn over deze klasse, dan zit bijvoorbeeld de helft van die 15,7 procent dus tussen 52,5 en 55. Dat komt overeen met 0,5 x 15,7 = 7,85 procent. Evenzo verwacht je dat tussen 54,5 en 57,5 ongeveer 0,6 x 15,7 = 9,42 procent van de gewichten zit (want de klasse 53-57 bestaat uit tien stukjes van een halve kilo en tussen 54,5 en 57,5 zitten 6 van de 10 stukjes).

Waarom is dit belangrijk? Wel, de vuistregels stellen dat ongeveer 68% van de waarnemingen tussen m-s = 54,5 en m+s = 71,5 zit. Om te controleren of dat zo is (en we dus te maken kunnen hebben met een normale verdeling), moeten we kijken hoeveel procent van de waarnemingen volgens de tabel tussen die waarden zit. Dat is dus de hele klasse 58-62 en 63-67, en van de klasse 53-57 is dat 6/10-de deel, en van de klasse 68-72 is dat 8/10-de deel.

ik begin het een klein beetje beter te snappen.... toch begrijp ik nog steeds niet hoe je aan die 0,6 en 0,8 komt....

[Tochjo]

De klasse 53-57 bevat alle gewichten groter dan of gelijk aan 52,5 en kleiner dan 57,5. In een plaatje kun je dat als volgt voorstellen:



Ik kan deze klasse verdelen in tien stukjes van 0,5 kilo, en dan krijg ik het volgende:



Van alle gewichten valt 15,7 procent in de klasse 53-57. Als we aannemen dat de gewichten netjes over deze klasse verdeeld zijn, dan valt in elk van de tien stukjes een tiende deel van de 15,7 procent, dus 15,7 : 10 = 0,1 x 15,7 = 1,57. In de zes stukjes van 54,5 tot 57,5 valt dus 6 x 0,1 x 15,7 = 0,6 x 15,7 = 9,42.

[Nonny]

huuh, dit staat helemaal niet in mijn wiskunde boek, ik ken alleen met normalcdf,pdf&invnorm... moet ik me nu zorgen gaan maken..?

[mathfreak]

Nonny schreef:

huuh, dit staat helemaal niet in mijn wiskunde boek, ik ken alleen met normalcdf,pdf&invnorm... moet ik me nu zorgen gaan maken..?

Stel dat je een normale verdeling hebt, waarbij een kansvariabele X normaal verdeeld is met een gemiddelde m en een standaardafwijking s. Met P(X≤x) geef je in de bijbehorende grafiek het percentage van de oppervlakte onder de grafiek links van x aan. Deze oppervlakte duiden we aan met Φ(x). Als Z een standaard normaal verdeelde kansvariabele is met gemiddelde 0 en standaardafwijking 1, dan geldt voor een zekere waarde z dat en . Op de grafische rekenmachine die jij gebruikt voer je deze kans in als normalcdf(-10^99,x,m,s). Indien P(X≤x) = Φ(z) en m en s bekend zijn vind je de bijbehorende waarde van x door op je grafische rekenmachine Invnorm(Φ(z),m,s) in te geven. In een tabel voor de normale verdeling vind je bij iedere z de bijbehorende kans P(Z≤z) = Φ(z).
Verder geldt: P(Z≥z) = 1-P(Z≤z) = 1-Φ(z) = Φ(-z) = P(Z≤-z) en P(a≤z≤b) = P(Z≤b)-P(Z≤a) = Φ(b)-Φ(a). Van deze laatste eigenschap heb ik in mijn vorige reply gebruik gemaakt om de percentages bij de vuistregels voor de normale verdeling af te leiden.
Uit volgt verder: z∙s = x-m, dus x = m+z∙s, m = x-z∙s en , waarbij je bij een gegeven waarde voor z dus x, m of s kunt berekenen.