[WI] Exponentiële afname

Peter1989 · **18-04-2014, 17:50**

voor de functie N(t) = N(0) × e^(-kt) met k als groeifactor, en t als tijdstip, kun je k verkrijgen door k = ln(2) / T0,5

T0,5 is de halfwaardetijd.

Bij exponentiële groei snap ik dat je ln(2) als teller gebruikt omdat je e^(kt) gelijkstelt aan 2, maar bij exponentiële afname zou ik verwachten dat je e^(-kt) gelijkstelt aan 0,5. Maar mijn antwoordenboek zegt dus ook ln(2), maar hoe komen ze hierbij?

Hulp zou erg fijn zijn

ThomasJu · **18-04-2014, 18:44**

vul die k gewoon eens in en schrijf sommige dingen eens wat anders op:

$k = \frac{ln(2)}{t_{.5}}$

$N(t) = N_{0} \cdot e^(-kt)$

$N(t) = N_{0} \cdot e^{\left(-\frac{ln(2)}{t_{.5}}t\right)}$

$N(t) = N_{0} \cdot e^{\left(-\frac{t}{t_{.5}}ln(2)\right)}$

$a\cdot ln(2) = ln(2^{a})$

$N(t) = N_{0} \cdot e^{\left(ln(2^{-\frac{t}{t_{.5}} })\right)}$

$e^{ln(a)} = a$

$N(t) = N_{0} \cdot 2^{-\frac{t}{t_{.5}} }$

Stel dat nu geldt t = t_{.5} (dus je ben op het moment dat de het gehalveerd zou moeten zijn).

dan wordt die breuk gelijk aan 1 en staat er dus 2^-1, dit is gelijk aan een half.

Zelfde trucje kan je uithalen met t = 2*t_{.5}, dan zie je dat N_0 gedeeld wordt door 4 (de helft van de helft).

Is het duidelijk zo?

mathfreak · **19-04-2014, 16:50**

Op het moment dat t = t_½ geldt dat N(t) = ½N(0), dus ½N(0) = N(0)e^-kt_½, dus e^-kt_½ = ½ = 2^-1,
dus e^kt_½ = 2, dus kt_½ = ln 2, waaruit dus $k=\frac{\ln 2}{t_{\frac{1}{2}}}$ volgt.

19-04-2014, 16:50
mathfreak	Op het moment dat t = t_½ geldt dat N(t) = ½N(0), dus ½N(0) = N(0)e^-kt_½, dus e^-kt_½ = ½ = 2^-1, dus e^kt_½ = 2, dus kt_½ = ln 2, waaruit dus $k=\frac{\ln 2}{t_{\frac{1}{2}}}$ volgt. __________________ "Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Advertentie