[WI] Rekenen met veeltermen (delen)

[Woopa]

Hallo iedereen!

Voor het vak wiskunde hebben we dit hoofdstuk "delen van veeltermen" gezien. Ik kwam 1 vraagstukje tegen waar ik niet goed wist wat te doen. Zouden jullie me kunnen helpen, alsjeblieft?

Welke veelterm is geen deler van (x-1)²(x^3 + x)

A: x^3 - x² + x - 1
B: x² -2x +1
C: x² - x
D: x^3 - x
E: x^4 - 2x²(x - 1) - 2x +1

B en C heb ik al geëlimineerd, aangezien je het product kan herschrijven als (x² - 2x + 1)(x² + 1)x.

Nu zie ik iets over het hoofd, dat me in staat stelt om de 2 andere delers te schrappen. Iemand die me zou kunnen helpen?

Met vriendelijke groeten
Woopa

[mathfreak]

Als je x = 1 invult in de uitdrukking bij A en E zie je dat daar nul uit komt, dus x-1 is in ieder geval een factor van de uitdrukking bij A en E. Ontbind beide uitdrukkingen eens verder om te zien wat de overige factoren zijn. Je ziet dan vanzelf welke van de 2 geen deler is van de gegeven uitdrukking.

[Woopa]

Moet ik de oorspronkelijke veelterm verder ontbinden of A en E?
Als ik C dan ontbind in (x-1)x zie ik die x-1 weer opduiken, dus C mag ik elimineren? x² -2x + 1 is de uitwerking van (x - 1)², dus die kan ik ook schrappen. Dan blijft er enkel nog D over? Is dat een correcte redenering?

[mathfreak]

Woopa schreef:

Moet ik de oorspronkelijke veelterm verder ontbinden of A en E?

Nee, je hoeft alleen maar naar A en E te kijken.

[Woopa]

A wordt dan (x² + 1)(x - 1) en E x²(x - 1)² - 2x + 1

Edit: Voor E vind ik nu ook (x-1)²(x²+1)...

Met die x² + 1 kan je niet aan de slag, toch? Je moet dan de vierkantswortel nemen van -1, wat niet mogelijk is (behalve in een verzameling die we pas in een van de volgende jaren gaan bespreken).

[mathfreak]

Bedenk dat x²+1 ook een factor is van de oorspronkelijke veelterm. Binnen de reële getallen is x²+1 inderdaad niet verder te ontbinden.