[WI] Vraag over rekenen met parameter - vwo 4

[agg078]

Kan iemand mij uitleggen hoe deze vraag in elkaar zit, snap er niets van..

De vraag:



A en B snap ik dan wel, maar C gaat dan helemaal anders in z'n werk lijkt het wel.

Antwoord van C:



Nu moet je dus iets doen met de abc-formule die ik ook toepas, ik kom tot hier:

4 - 4 x p x 5 = 4 - 20p

En dan loop ik vast, ik snap niets van dat p < 0 / 0 < p < 0.2 gedoe..

Ik snap overigens wel dat p dan gelijk is aan 1/5 maar hoe kom ik op dat antwoord uit?

[Tochjo]

Opdat een tweedegraads vergelijking twee reële oplossingen heeft, moet de discriminant groter dan 0 zijn. De discriminant is hier inderdaad D = 2² − 4·p·5 = 4 − 20p. Er moet dus gelden 4 − 20p > 0.

Er zijn verschillende manieren om zo'n ongelijkheid op te lossen. Je kunt bijvoorbeeld eerst de gelijkheid oplossen en vervolgens kijken waar de ongelijkheid klopt. Waar beide gelijk zijn, wisselt het namelijk welke grafiek "boven de andere" ligt. De gelijkheid oplossen geeft 4 − 20p = 0, dus p = 0,2. Als je een schets van de situatie maakt, zie je snel waar de ongelijkheid geldt:


Links van p = 0,2 geldt dat D = 4 − 20p boven de p-as ligt, dus daar geldt D > 0, dus de oplossing van de ongelijkheid is p < 0,2.

Omdat voor p < 0,2 geldt dat D > 0 ben je geneigd te zeggen dat de vergelijking twee oplossingen heeft als p < 0,2. Maar er zit nog een dikke adder onder het gras. Omdat de parameter p hier de coëfficiënt is van x², gebeurt er iets bijzonders als p = 0. In dat geval wordt je vergelijking namelijk 2x + 5 = 0. Dat is geen tweedegraads vergelijking, maar een lineaire vergelijking die nooit twee oplossingen kan hebben. Dus voor p = 0 zijn er niet twee oplossingen.

Het antwoord op de gestelde vraag is dus: de vergelijking heeft twee oplossingen als p < 0,2 en p ≠ 0 (in woorden: p is kleiner dan 0,2 maar mag niet 0 zijn). Dat kun je ook wat cryptischer noteren als p < 0 ∨ 0 < p < 0,2 (in woorden: p is kleiner dan 0 of zit tussen 0 en 0,2).

[mathfreak]

Aanvullende oefening: ga na dat als 5x²+2x+p = 0 twee oplossingen heeft dat dan moet gelden dat .

[agg078]

mathfreak schreef:

Aanvullende oefening: ga na dat als 5x²+2x+p = 0 twee oplossingen heeft dat dan moet gelden dat .

4 - 20p > 0
1 - 5p > 0

ik kom dus nooit verder dan dit...

nu moet ik dus kijken wanneer die p groter is dan 0?

[Tochjo]

agg078 schreef:

4 - 20p > 0
1 - 5p > 0

ik kom dus nooit verder dan dit...

Dat is opvallend, want je gaf aan dat je vragen a en b wel kon maken. Bovendien heb ik in mijn bericht vrij uitgebreid toegelicht hoe je deze ongelijkheid oplost. Kun je specifieker aangeven wat in mijn bericht je niet begrijpt?

[agg078]

Tochjo schreef:

Dat is opvallend, want je gaf aan dat je vragen a en b wel kon maken. Bovendien heb ik in mijn bericht vrij uitgebreid toegelicht hoe je deze ongelijkheid oplost. Kun je specifieker aangeven wat in mijn bericht je niet begrijpt?

Ik snap gewoon niet wat die p inhoudt, hoe ik de som moet aanpakken. A en b gingen zoals het voorbeeld in mijn boek, die waren nog redelijk simpel.. maar dat van 0 < p < 0,2 etc. zie ik nergens uitgelegd staan

Dus de aanpak begrijp ik niet, een duidelijk stappenplan

[Tochjo]

De letter p wordt gebruikt als parameter. Je kunt op die manier een familie van functies in één keer opschrijven: de uiteindelijke waarde van de parameter bepaalt welke functie je uiteindelijk hebt. Een simpel voorbeeld is de formule y = p. De grafiek hiervan is een horizontale lijn die de y-as snijdt op hoogte p. Voor elke waarde van p heb je een andere lijn.

In vraag 6a gaat het over de familie van functies f_p(x) = 2x² + 4x + p. Voor elke waarde van p krijg je een andere functie, en een andere grafiek. In de figuur hieronder zijn voor enkele waarden van p de bijbehorende grafieken getekend.



Je ziet dat afhankelijk van de waarde van p de grafiek geheel boven de x-as ligt, de x-as raakt of de x-as snijdt. In vraag 6a moet je achterhalen voor welke waarde van p de grafiek geheel boven de x-as ligt. Dat is namelijk waar het op neerkomt dat de vergelijking 2x² + 4x + p = 0 geen oplossingen heeft.

Opdat een tweedegraads vergelijking geen reële oplossingen heeft, moet de discriminant kleiner dan 0 zijn. De discriminant is hier D = 4² − 4·2·p = 16 − 8p. Er moet dus gelden 16 − 8p < 0.

Je gaat nu op zoek naar alle waarden van p waarvoor deze ongelijkheid geldt. Voor p = 0 is dat bijvoorbeeld niet het geval: invullen van p = 0 geeft links 16 − 8·0 = 16, en dat is niet kleiner dan 0. Maar voor p = 5 is dat bijvoorbeeld wel het geval: 16 − 8·5 = −24 en dat is wel kleiner dan 0. Hoe vind je nu alle waarden van p waarvoor dit geldt?

Je kunt de grafiek schetsen die hoort bij de formule D = 16 − 8p. Je ziet dan het verband tussen de parameter p en de discriminant D. Hier heeft de parameter p de rol die de variabele x normaal heeft: de waarde die kan veranderen, die je op de horizontale as zet. De discriminant D is wat er uit de formule komt als je de p hebt ingevuld, de waarde die je op de verticale as zet. De grafiek ziet er dan zo uit:



Je ziet dat voor p = 2 de discriminant precies gelijk is aan 0. En dat rechts van het snijpunt de discriminant kleiner dan 0 is. Dus: voor p > 2 is D < 0. Dus p > 2 is de oplossing van de ongelijkheid 16 − 8p < 0. Dus: voor p > 2 heeft de vergelijking 2x² + 4x + p geen oplossingen.

Voor de andere vragen geldt hetzelfde: kijk wat voor de discriminant moet gelden, stel de bijbehorende ongelijkheid op en los die op. Als de parameter p voor de x² staat, dan moet je nog even opletten wat er gebeurt als p = 0, maar dat heb ik in mijn vorige bericht toegelicht. Lees dat zorgvuldig door en stel vragen als je iets niet begrijpt.