wiskunde vergelijking

Ik heb hier ff een sommetje waar ik niet uit kom:

Gegeven is de functie xe^1-x

Voor welke waarden van a heeft de lijn a(x+½) precies één punt met de grafiek van f gemeenschappelijk???

[mathfreak]

Veronderstel dat de lijn een raaklijn is, dan moet gelden:
a=e^1-x-x*e^1-x=(e^1-x)(1-x), dus e^1-x=a/(1-x).
Invullen in de vergelijking a(x+½)=x*e^1-x geeft: a(x+½)=a*x/(1-x). Dit geeft: a=0 of x+½=x/(1-x). De laatste vergelijking is te herschrijven als (x+½)(1-x)=x ofwel x-x²+½-½*x=x, dus x²+½*x-½=0,
dus x=(-½-sqrt(1/4+2)/2=(-½-1½)/2=-2/2=-1
of x=-½+sqrt(1/4+2)/2=(-½+1½)/2=½. x=½ geeft: a=½*e^½ en x=-1 geeft: -½*a=-e², dus a=2*e². Voor a=0 geldt: x=0.

f(x) = x * e^(1-x)
g(x) = a(x + 1/2)

f'(x) = (1-x) * e^(1-x)
g'(x) = a


wanneer raken f en g elkaar

x * e^(1-x) = a(x + 1/2)
(1-x) * e^(1-x) = a

e^(1-x) = a(x + 1/2) / x
e^(1-x) = a / (1-x)

a(x + 1/2) / x = a / (1-x)
(x + 1/2) = 1 / (1-x)
x = -1 of x = 1/2 <=> a = 2e² of a = 1/2 * sqrt(e)

even grafieken schetsen en dan zie dat je geldt:

a <= 0: 1 snijpunt]
0 < a < 1/2 * sqrt(e): 2 snijpunten
1/2 * sqrt(e): 1 snijpunt
1/2 * sqrt(e) < a < 2e²: geen snijpunten
a => 2e² : 1 snijpunt

dus:
a &#x2264; 0 óf a = 1/2 * &#x221A; óf a &#x2265; 2e²

grtz Thyrfi

[mathfreak]

BezoekerT schreef:
f(x) = x * e^(1-x)
g(x) = a(x + 1/2)

f'(x) = (1-x) * e^(1-x)
g'(x) = a


wanneer raken f en g elkaar

x * e^(1-x) = a(x + 1/2)
(1-x) * e^(1-x) = a

e^(1-x) = a(x + 1/2) / x
e^(1-x) = a / (1-x)

a(x + 1/2) / x = a / (1-x)
(x + 1/2) = 1 / (1-x)
x = -1 of x = 1/2 <=> a = 2e² of a = 1/2 * sqrt(e)

even grafieken schetsen en dan zie dat je geldt:

a <= 0: 1 snijpunt]
0 < a < 1/2 * sqrt(e): 2 snijpunten
1/2 * sqrt(e): 1 snijpunt
1/2 * sqrt(e) < a < 2e²: geen snijpunten
a => 2e² : 1 snijpunt

dus:
a &#x2264; 0 óf a = 1/2 * &#x221A; óf a &#x2265; 2e²

grtz Thyrfi

Er zit een fout in je uitwerking. Uit a(x + 1/2) / x = a / (1-x) volgt a=0 of (x + 1/2) / x =1/ (1-x), ofwel a=0 of (x + 1/2)(1-x)=x.

mathfreak schreef:
Er zit een fout in je uitwerking. Uit a(x + 1/2) / x = a / (1-x) volgt a=0 of (x + 1/2) / x =1/ (1-x), ofwel a=0 of (x + 1/2)(1-x)=x.

ja 'kben een uitkomst van a daar vergeten

maar 'kheb 'm er later weer bijgehaald

Bedankt voor de uitwerking, ik snap em nu