[WiB1] Vraagje over bewijzen...

[Gothic]

Ik moet een PO maken, hieronder een deel van de vragen. Ik moest vraag 5,6 en 7 maken. Die slaan terug of vraag 1. Nu denk ik dat ik eruit ben gekomen...

(ik hoop dat het volgende te snappen is )
Ik heb eerst bij 5 en 6 de parabool getekend. Vervolgens de afgeleide bepaald (f'(x) = 4x en 6x). Die heb ik getekend en vervolgens 90 graden gedraaid. Bij vraag 5 had ik een richtingscoefficient (rico) van 4. De gedraaide afgeleide, daar had ik functie: f"(x)= -1/4x.
Bij vraag 6 had ik als gedraaide: f"(x) = -1/6x...
Wat me opviel is dat de f" -1/n is. (n = rico f').
Met die lijn die je door het punt P moest tekenen heb ik niets gedaan, die lijn heeft ook dezelfde rico volgens mij...


Ten eerste weet ik niet of mijn manier klopt. Ten 2e heb ik geen idee hoe ik moet bewijzen. Zoiets heb ik nog nooit hoeven doen. De leraren willen niet helpen, omdat het een PO is... Help ?


(hier de opgaven, het gaat dus om opgave 5,6 en 7, en die slaan terug op 1)

I Normalen

1a. Teken de lijn l: y=2a op ruitjespapier. Draai deze lijn 90 graden om de oorsprong en bepaal de richtingscoeffient (rico) van de gevonden lijn l’.
b. Teken door een willekeuring punt P op l een lijn l” die evenwijdig is aan lijn l’. Welke conclusie kun je trekken aangaande de rico’s van l enerzijds en l’ en l” anderzijds? Bewijs nu: elke lijn l’ die loodrecht staat op de lijn l: y =mx heeft rico…
Defenitie: een lijn ‘ die (in een gegeven punten) loodrecht staat op een gegeven lijn l heet een normaal van l.

II Parabolen

2a. Zoek een definitie van een parabool waarin de begrippen brandpunt en richtlijn voorkomen.
b. Bewijs dat de vergelijking van een parabool met brandpunt F (0,a) en richtlijn y=-a is:
y = x^2 / 4a (1)
Gebruik bijvoorbeeld het internetadres: http://home.planet.nl/~hklein/meetk/para6.htm.
c. Vaak wordt de vergelijking van een parabool geschreven als: y = cx^2 (2)
Bepaal het verband tussen de constante c in (2) en de constante in (1).

3a. Schets de parabool y = x^2 en stel de vergelijking op van de raaklijn in het punt P (1,1).
b. Stel de vergelijking op (exact!) van de normaal van de raaklijn in het punt P.
c. Bereken exact de coordinaten (xs, ys) van het snijpunten S van deze normaal met de y-as.
d. Bereken het verschil ys-yp.

4. Herhaal de stappen van opdracht 1, maar nu voor punt P (2,4)

5. Herhaal de stappen van opdracht 1, maar nu voor de parabool y = 2x^2 en punt P (1,2).

6. Herhaal de stappen van opdracht 1, maar nu voor de parabool y = 3x^2 en punt P (1,3).
(Begint je nu iets op te vallen?)

7. Probeer wat je opgevallen is, exact te bewijzen voor een parabool y = cx^2 en een willekeurig punt P (xs, ys) daarop.

[mathfreak]

5. Laat y=2*x² de gegeven parabool zijn, dan geldt: y'=4*x, dus de raaklijn in P(1,2) heeft richtingscoëfficiënt 4*1=4, wat betekent dat de normaal in P richtingscoëfficiënt -1/4 heeft en dus een vergelijking van de vorm y=-1/4*x+b heeft. Invullen van de coördinaten van P geeft:
2=-1/4+b, dus b=2 1/4.
Laat S het snijpunt van de normaal met de Y-as zijn, dan geeft dit het punt (0,2 1/4). Nu geldt: y_S-y_P=2 1/4-2=1/4.
6. Laat y=3*x² de gegeven parabool zijn, dan geldt: y'=6*x, dus de raaklijn in P(1,3) heeft richtingscoëfficiënt 6*1=6, wat betekent dat de normaal in P richtingscoëfficiënt -1/6 heeft en dus een vergelijking van de vorm y=-1/6*x+b heeft. Invullen van de coördinaten van P geeft:
3=-1/6+b, dus b=3 1/6.
Laat S het snijpunt van de normaal met de Y-as zijn, dan geeft dit het punt (0,3 1/6). Nu geldt: y_S-y_P=3 1/6-3=1/6.
7. Afgaande op de uitkomsten van 5 en 6 lijkt het er op dat de volgende eigenschap geldt: als P een gegeven punt van een parabool y=c*x² is en y'_P de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de parabool in P, en als de normaal in P de Y-as snijdt in S, dan geldt: y_S-y_P=1/(2*c). Je moet nu laten zien dat dit juist is.
Laat y=c*x² de gegeven parabool zijn, dan geldt: y'=2*c*x, dus de raaklijn in P(x_P,y_P) heeft richtingscoëfficiënt y'_P=2*c*x_P, wat betekent dat de normaal in P richtingscoëfficiënt -1/(2*c*x_P) heeft en dus een vergelijking van de vorm y=-1/(2*c*x_P)*x+b heeft. Invullen van de coördinaten van P geeft: y_P=-x_P/(2*c*x_P)+b=-1/(2*c)+b,
dus b=y_P+1/(2*c).
Laat S het snijpunt van de normaal met de Y-as zijn, dan geeft dit het punt (0,y_P+1/(2*c)). Nu geldt: y_S-y_P=y_P+1/(2*c)-y_P=1/(2*c), waarmee de juistheid van de eigenschap is bewezen.
Nog even een opmerking wat terminologie betreft: een gedraaide afgeleide bestaat niet. Wat je bedoelt is dat de afgeleide in een punt de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dat punt voorstelt, en dat je door draaiing van deze raaklijn over 90° de normaal in dat punt vindt.