Oneindigheid in de 3e Dimensie = Paradox

[ShoarmaSchaap]

Ik zat eens te denken over afstand in 3 dimensionaliteit.

Ik ben tot de stelling gekomen dat 3 dimensionaliteit een einde heeft. Je kunt niet een bepaalde ruimte eindeloos blijven doordelen.

Sjaak staat in zijn kamer en hij wilt naar zijn deur toelopen. De afstand tussen sjaak en de deur is 4 meter.


Als sjaak in 1 seconde 0.7 meter vooruit komt en sjaak een halve seconde later weer naar voren beweegt komt hij +-0.35 meter vooruit weer een kwart seconde later komt sjaak +-0.175 meter vooruit

Met andere woorden, sjaak komt steeds minder vooruit.
Op deze manier kan hij eindeloos door blijven lopen zonder ooit bij zn deur te komen !!!

Maar toch komt sjaak bij zn deur aan... -> Paradox

De enige manier waarop sjaak bij de deur kan komen is dus als een afstand niet eindeloos is door te delen.

Er MOET een tijdseenheid zijn waarbij je de Afstand waarmee je ruimte meet niet meer te verkleinen is. Er is een punt waarop de afstand tussen de 3 punten niet meer te verkleinen is.

Zou dit er niet zijn dan zou de afstand die sjaak aflegt eindeloos verkleinen en zou sjaak eindeloos minder vooruitkomen.

Daarom zeg ik, 3 dimensionaliteit is eindigend.

[nojol]

de snelheid kan nooit 0 worden zelfs al bljif je delen en de redering is gewoon onzinnig
als hij 0.7m/s snel wandelt en de deur is 1.4 meter, dan doet hij er gewoon2 s over, 0,35 per halve seconde is gewoon even snel als 0.7 m/s, gewoon anders uitgedrukt
bv. 100 km/h of 50 km/halfuur
het is gewoon een uitdrukking van snelheid, als je nu nog 1000 maal zou delen, dan zou hij zogezegd heeel weinig afleggen, maar dat dan ook in heeeeeeel korte tijd, niets verandert, hij wandelt even snel

[GeritoDM]

Dit lijkt zeer sterk op een zeer oud 'vraagstuk', alleen dan gaat het over een schildpad en een atleet, waarbij de schildpad een voorsprong heeft en de atleet de schildpad nooit kan inhalen, omdat je altijd verder kan inzoomen op de tijd en er dan altijd een afstand zal zijn. Dat is het probleem dan ook, je zoomt oneindig in op alles wat voor het treffen gebeurt. Dat betekent nog niet dat wat daarna gebeurt nooit gebeurt, of niet kan gebeuren... Oneindig inzoomen is in feite geen stappen zetten, dus kom je ook niet verder. Dus hiermee is je paradox verklaart, en je stelling '3d is eindigend' (wat overigens een verkeerde conclusie is, want het heeft niets met 3 dimensies te maken, het enige wat nodig is, is min. één ruimtelijke en één tijdsdimensie.) ontkracht.

[REIE]

GeritoDM schreef op 26-08-2003 @ 19:43:
Dit lijkt zeer sterk op een zeer oud 'vraagstuk', alleen dan gaat het over een schildpad en een atleet, waarbij de schildpad een voorsprong heeft en de atleet de schildpad nooit kan inhalen, omdat je altijd verder kan inzoomen op de tijd en er dan altijd een afstand zal zijn. Dat is het probleem dan ook, je zoomt oneindig in op alles wat voor het treffen gebeurt. Dat betekent nog niet dat wat daarna gebeurt nooit gebeurt, of niet kan gebeuren... Oneindig inzoomen is in feite geen stappen zetten, dus kom je ook niet verder. Dus hiermee is je paradox verklaart, en je stelling '3d is eindigend' (wat overigens een verkeerde conclusie is, want het heeft niets met 3 dimensies te maken, het enige wat nodig is, is min. één ruimtelijke en één tijdsdimensie.) ontkracht.

Haha Zeno! Ja, daar heeft Schaap ook een handje van!
http://forum.scholieren.com/showthre...ghlight=zotste

[Isa]

dat komt omdat je ruimte probeert te omschrijven met getallen terwijl ruimte daar niet op gebouwd is. en tijd evenmin

[Blitzkrieg Bop]

Dit is ook weer typisch zo'n 'filosofisch' probleem wat eigenlijk veroorzaakt wordt doordat onze taal onvolledigheden bevat. Het heeft niets te maken met cijfers, tijd en ruimte, of vreemde paradoxen. Als ik zeg dat ik een stap van een meter maak, kan ik ook zeggen dat ik een stap van 0,1m, 0,2m etc.
[0 (R..) < 1m.] (alle getallen tussen 0 en 1) heb gemaakt. Tis maar net hoe om je de vraag stelt.

[ShoarmaSchaap]

het is best simpel

de vraag is, kun je een stuk ruimte eindeloos opdelen?

Zoja, dan zou je door een oneindig aantal stukken ruimte moeten reizen om bij je doel te komen.



Dus vandaar mijn stelling.

[hamer&sikkel]

Deling, je komt steeds dichter bij nul maar je zult het nooit bereiken= asymptoot.

De aarde is eindig, of het heelal dat is weten wij niet, maar we weten ook niet of daar misschien meerdere dimensies zijn.

[Blitzkrieg Bop]

ShoarmaSchaap schreef op 26-08-2003 @ 23:23:
het is best simpel

de vraag is, kun je een stuk ruimte eindeloos opdelen?

Zoja, dan zou je door een oneindig aantal stukken ruimte moeten reizen om bij je doel te komen.



Dus vandaar mijn stelling.

Ja een stuk ruimte kan je oneindig opdelen, maar het stuk ruimte zelf is eindig in omvang. Dat is inderdaad een paradox, maar wel te verklaren:
Als F(x) = 1/x dan nadert de functie naar 0 en heeft dus een oneindig aantal waarden voor y. In jou voorbeeld echter geld ook nog [ 0 < x > 1] ( toegestane waarden voor x liggen tussen 0 en 1) F(x) is in dit geval niet oneindig.

[ShoarmaSchaap]

duyvel schreef op 27-08-2003 @ 20:47:
Ja een stuk ruimte kan je oneindig opdelen, maar het stuk ruimte zelf is eindig in omvang. Dat is inderdaad een paradox, maar wel te verklaren:
Als F(x) = 1/x dan nadert de functie naar 0 en heeft dus een oneindig aantal waarden voor y. In jou voorbeeld echter geld ook nog [ 0 < x > 1] ( toegestane waarden voor x liggen tussen 0 en 1) F(x) is in dit geval niet oneindig.

Tussen 0 < x > 1 bevinden zich een oneindig aantal getallen, 0.5 0.93845893 etc.

Alleen tussen 0 < x > 0 1 < x > 1 bevindt zich geen enkel ander getal.



Stel al zou het aantal getallen niet oneindig zijn tussen 0 en 1

Het object zal dan nog steeds door een oneindig aantal stukken eindigende ruimte moeten reizen

ShoarmaSchaap schreef op 27-08-2003 @ 22:14:
Tussen 0 < x > 1 bevinden zich een oneindig aantal getallen, 0.5 0.93845893 etc.

Alleen tussen 0 < x > 0 1 < x > 1 bevindt zich geen enkel ander getal.

Ik moet toch even opmerken dat deze notatie totaal onzinnig is.
In 0 < x > 0 zeg je namelijk twee keer exact hetzelfde. Moet zijn 0 < x < 0
Vindt je wiskunde-leraar waarschijnlijk ook wat beter voor je cijfer op een tentamen...

[Gatara]

ShoarmaSchaap schreef op 26-08-2003 @ 23:23:
het is best simpel

de vraag is, kun je een stuk ruimte eindeloos opdelen?

Als deze 3 dimensionale ruimte zelf eindeloos is, lijkt mij het antwoord:
>>ja<<

Maar je hebt t hier over een ruimte met een beperkte hoogte, breedte en lengte (kamer met deur); waar dus een meetkundige beperking aan opgelegd is; in dit geval is het antwoord: >>nee<<

Maar wellicht is het inderdaad zo wat Isa zegt:

dat komt omdat je ruimte probeert te omschrijven met getallen terwijl ruimte daar niet op gebouwd is. en tijd evenmin

Dus ook deze beperkte ruimte zou je eigenlijk niet in getallen moeten uitdrukken (maar dan kun je ook niet delen ) erm... juistja.

[Everdarkgreen]

Mja, er zijn natuurlijk twee vormen van oneindigheid, ten eerste is er wat in het engels 'infinite' heet (dit komt er min of meer mee overeen, dat je voor elk getal een groter getal kunt nemen, tot in het oneindige door), en ten tweede is er een begrip waar de engelse term 'infinitesimal' voor bestaat (wat min of meer equivalent is met het feit dat er tussen twee verschillende getallen, bijv. 0 en 1, altijd oneindig veel andere getallen bestaan).

Zoals het er nu naar uit ziet, is het aantal deeltjes waaruit het universum bestaat eindig, is er een minimale ondeelbare tijdseenheid (de Planck-tijd), en het lijkt me daardoor niet meer dan logisch dat er ook een minimale afstands-eenheid bestaat.

Volgens alle klassieke modellen van de werkelijkheid, zou er echter geen minimale afstands-eenheid zijn, en kun je (zoals in de wiskunde) elke afstand weer in tweeen delen... 1/2, 1/4, 1/8... 1/1024... etc...

Zeno's paradox is trouwens best interessant, en ik ben er nog steeds niet uit of je, met behulp van rekenen met limieten e.d. en het wiskundig te benaderen, het probleem ook echt oplost.

[Gatara]

Everdarkgreen schreef op 18-09-2003 @ 09:29:

Zeno's paradox is trouwens best interessant, en ik ben er nog steeds niet uit of je, met behulp van rekenen met limieten e.d. en het wiskundig te benaderen, het probleem ook echt oplost.

Ik denk t niet, want hoewel er tussen 0 en 1 oneindig veel getallen zou kunnen zijn, betekent niet dat je die deur op 4 meter afstand nooit zult bereiken. Je vooruitgang is altijd +iets.
(volgens de wiskundige beredenering dan)

[mathfreak]

Everdarkgreen schreef op 18-09-2003 @ 09:29:
ten tweede is er een begrip waar de engelse term 'infinitesimal' voor bestaat (wat min of meer equivalent is met het feit dat er tussen twee verschillende getallen, bijv. 0 en 1, altijd oneindig veel andere getallen bestaan).

Dit klopt niet. Een infinitesimale grootheid is een grootheid die als limiet de waarde nul heeft. Denk bijvoorbeeld aan het begrip differentiaal.

[Gatara]

mathfreak schreef op 18-09-2003 @ 21:03:
Dit klopt niet. Een infinitesimale grootheid is een grootheid die als limiet de waarde nul heeft. Denk bijvoorbeeld aan het begrip differentiaal.

En dus? Wat heeft dit tot gevolg? Dat een beperkte 3 dimensionale ruimte (zoals een kamer) niet oneindig is?

[blackcamel]

kenker, deze jongen word dus echt para van deze redenaties.............

[Everdarkgreen]

mathfreak schreef op 18-09-2003 @ 21:03:
Dit klopt niet. Een infinitesimale grootheid is een grootheid die als limiet de waarde nul heeft. Denk bijvoorbeeld aan het begrip differentiaal.

Ik weet wel hoe infinitesimaal met differentialen te maken heeft, hoor, ik heb zelfs nog een jar wiskunde gestudeerd (was de precieze definitie ook niet eigenlijk, dat de grootheid oneindig dicht bij nul zou moeten kunnen komen?).

Dictionary.com geeft ons:

infinitesimal:
1. Immeasurably or incalculably minute.
2. Mathematics. Capable of having values approaching zero as a limit.

Hier had ik het dus over 1.

Maar mijn uitleg had inderdaad beter gekund, ik wilde ook eigenlijk alleen laten zien dat er twee soorten oneindigheid zijn, 'infinity' (het oneindig grote/verre) en 'infinitesimality' (het oneindig kleine/precieze).

[Everdarkgreen]

Gatara schreef op 18-09-2003 @ 21:47:
En dus? Wat heeft dit tot gevolg? Dat een beperkte 3 dimensionale ruimte (zoals een kamer) niet oneindig is?

Eerder dat de ruimte wel oneindig is, tenminste als de werkelijkheid gemodelleerd kan worden naar de reële getallen. Er zijn oneindig veel verschillende getallen tussen 0 en 1, in een zekere zin is er dus sprake van oneindigheid tussen 0 en 1. Desondanks is het verschil tussen 0 en 1 eindig.

In een kunstmatige constructie als de wiskude is het heel logisch, dat zoiets kan bestaan (het komt gewoon voort uit de definities), maar in de werkelijkheid is het iets minder vanzelfsprekend. Dit is ook precies wat Zeno's paradox zegt, in een iets meer abstracte vorm "er zijn oneindig veel getallen tussen 0 en 1, dus je zult de 1 nooit bereiken".

We weten dat a) we dat probleem in de wiskunde met limieten kunnen oplossen, en b) dat het in tegenspraak is met de werkelijkheid, maar we weten toch niet echt hoe we het in de werkelijkheid op moeten lossen, omdat het nogal onduidelijk is hoe tijd en ruimte op het meest fundamentele niveau werken (continue tijd/ruimte vs. discrete tijd/ruimte).

Continue tijd -> Zeno's paradox heeft dezelfde oplossing als in de wiskunde, maar waarschijnlijk is er dan toch iets aan de hand wat er voor zorgt dat we niet elk tijdstip als apart ervaren.
Discrete tijd -> Zeno's paradox bestaat niet, omdat je tijd niet tot in het oneindige kunt splitsen.

[GinnyPig]

Everdarkgreen schreef op 19-09-2003 @ 08:47:
Maar mijn uitleg had inderdaad beter gekund, ik wilde ook eigenlijk alleen laten zien dat er twee soorten oneindigheid zijn, 'infinity' (het oneindig grote/verre) en 'infinitesimality' (het oneindig kleine/precieze).

Er zijn oneindig veel "soorten" oneindigheden. De machtsverzameling P(x) van verzameling x dat uit oneindig veel elementen bestaat, is een grotere verzameling dan x zelf. En de machtsverzameling van P(x) is ook weer groter. Enzovoorts.

[ganralph]

ShoarmaSchaap schreef op 27-08-2003 @ 22:14:
Het object zal dan nog steeds door een oneindig aantal stukken eindigende ruimte moeten reizen

nee (en ik hoop dat ik dit goed uit kan leggen). oneindig aantal 'stukken' zijn dus in principe hele kleine (oneindig kleine) stukken, die je alleen kunt bereiken door de ruimte (getal 1) tot in de eeuwigheid te blijven delen.
als je de ruimte maar blijft en blijft delen, kun je in principe nooit van een 'stuk eindige ruimte' spreken, want zou gauw als je dit stuk definieert of kunt bevatten; is het in principe al weer gedeeld in 2, 4, 8, 1miljoen kleinere stukken. zou je het 'vasthouden' dan kan het niet oneindig klein zijn

het begrip "stuk" vraagt om een bestaan. maar iets dat tot in de oneindigheid van tijd (eeuwigheid) blijft veranderen - in principe met oneindig hoge snelheid - 'bestaat' niet als zodanig op enig moment in de tijd



of anders met deze redenering:

je kunt de ruimte opdelen in 10 stukken van 40cm of 100stukken van 4cm of 400stukken van 1cm enz.... maar een oneindig aantal stukken, vraagt ook om stukken die oneindig klein zijn; en dan spreken we dus niet meer van stukken 'eindige' ruimte zoals jij beweert

[ShoarmaSchaap]

ganralph schreef op 19-09-2003 @ 14:50:
nee (en ik hoop dat ik dit goed uit kan leggen). oneindig aantal 'stukken' zijn dus in principe hele kleine (oneindig kleine) stukken, die je alleen kunt bereiken door de ruimte (getal 1) tot in de eeuwigheid te blijven delen.
als je de ruimte maar blijft en blijft delen, kun je in principe nooit van een 'stuk eindige ruimte' spreken, want zou gauw als je dit stuk definieert of kunt bevatten; is het in principe al weer gedeeld in 2, 4, 8, 1miljoen kleinere stukken. zou je het 'vasthouden' dan kan het niet oneindig klein zijn

het begrip "stuk" vraagt om een bestaan. maar iets dat tot in de oneindigheid van tijd (eeuwigheid) blijft veranderen - in principe met oneindig hoge snelheid - 'bestaat' niet als zodanig op enig moment in de tijd

Juistem jij begrijpt me.

Dat is de paradox die ik aanwijs, en de reden waarom 3 dimensionaliteit een kleinste eenheid moet bevatten.

[ganralph]

hebben we het over een ruimte met lucht, water of weet ik wat, dan heeft het geen zin om te spreken van stukken kleiner dan het kleinste deeltje in de ruimte.
er zijn deeltjes (of snaren of hoe dan ook) bekend (of van hun bestaan wordt uitgegaan) die extreem klein zijn (voor menselijke begrippen) en waaruit alles (dus ook de lucht in onze ruimte) is opgebouwd. mocht er ooit definitief sprake zijn van een 'kleinste' deeltje, dat dus niet deelbaar is, dan is dat de kleinste eenheid die bruikbaar is.

spreken we van een lege ruimte (vacuum oid). dan zijn er 2 mogelijkheden:
1) ook het 'niets' is opgebouwd uit de essentiele bouwstenen (de kleinste deeltjes) maar heeft in die bepaalde samenstelling (het 'niets'/vacuum) zodanige eigenschappen dat het voor ons niet zinnig is om over deeltjes te spreken. qua kleinste eenheid komen we dan echter op hetzelfde verhaal als hierboven uit. (btw: de benaming 'niets' is dan onjuist)

2) een vacuum is echt een 'totaal gebrek aan deeltjes' en dan is het wel op te delen in oneindig veel oneindig kleine stukken. maar dit is slechts theoretisch, omdat een gebrek aan wat voor deeltjes dan ook echt niets is (we kunnen het eigenlijk niet eens kennen - want hoe ken je iets dat niet bestaat?). aangezien het 'niets' niet bestaat, kun je het ook niet delen (0 delen door 2 is nog net zo 0)
overigens:
aangezien wij wel een soort vacuum kennen - dat ook in de tijd bestaat - is het vrij onwaarschijnlijk dat een vacuum een absoluut 'niets' is

[ganralph]

het is dus idd een paradox, maar geen contradictie

[Everdarkgreen]

of anders met deze redenering:

je kunt de ruimte opdelen in 10 stukken van 40cm of 100stukken van 4cm of 400stukken van 1cm enz.... maar een oneindig aantal stukken, vraagt ook om stukken die oneindig klein zijn;

Dat hoeft niet: een stuk van 200 cm, een stuk van 100 cm, een stuk van 50 cm, 25 cm, 12.5 cm, etc... Oneindig veel stukken die allemaal gewoon een eindige lengte hebben, en samen precies 400 cm zijn.

[ganralph]

dat probeer ik uit te leggen. een oneindig klein stuk kan ten eerste alleen theoretisch gekend worden. op jouw verhaal is niet mijn 'tweede uitleg' (die jij citeert) van toepassing, maar juist de eerste (die daar boven staat).

en nogmaals: jij zegt dat alle stukken een eigen lengte hebben - als dat echt zo is dan heb je op een gegeven moment de 4meter bij elkaar. want als die stukken een vaststaande lengte hebben, dan kun je ze optellen; en dan ben je op een gegeven moment bij de 400cm, met een beperkt aantal 'lengtes', en dus niet met oneindig veel stukken, zoals jij zegt.
want je kunt oneindig veel stukken niet optellen: er zou nooit een eind aan je som komen, en dus kom je nooit op 400cm uit.

je bereikt sowieso de 4m niet op jouw manier:
200cm + 100cm + 50cm + 25cm = 375
375 + 12,5 = 387,5
387,5 + 6,25 = 393,75
je hebt dan weer het probleem van Zeno: je zult uiteindelijk de 400cm BENADEREN, want je werkt gewoon steeds verder achter de komma. je moet andere maten nemen.



jij verschuift het probleem tot het laatste stukje; ik pas het op de hele ruimte toe.

[mathfreak]

Everdarkgreen schreef op 19-09-2003 @ 08:47:
Ik weet wel hoe infinitesimaal met differentialen te maken heeft, hoor, ik heb zelfs nog een jaar wiskunde gestudeerd

Dat kon ik niet weten. Ik heb zelf overigens diverse wiskunde-opleidingen proberen te volgen en houd me via zelfstudie nog steeds met wiskunde bezig. Waar heb je indertijd wiskunde gestudeerd, en waarom ben je er eigenlijk mee gestopt als ik vragen mag?

Everdarkgreen schreef op 19-09-2003 @ 08:47:
was de precieze definitie ook niet eigenlijk, dat de grootheid oneindig dicht bij nul zou moeten kunnen komen?

Zo zou je het kunnen definiëren, maar ik geef de voorkeur aan de definitie als een grootheid die nul als limiet heeft, aangezien het begrip "oneindig dicht" aanleiding geeft tot de vraag hoe dicht oneindig dicht eigenlijk is, en dus aanleiding kan geven tot onduidelijkheden hierover.

Everdarkgreen schreef op 19-09-2003 @ 08:47:
Dictionary.com geeft ons:

infinitesimal:
1. Immeasurably or incalculably minute.
2. Mathematics. Capable of having values approaching zero as a limit.

Hier had ik het dus over 1.

Wat jij schreef was "wat min of meer equivalent is met het feit dat er tussen twee verschillende getallen, bijv. 0 en 1, altijd oneindig veel andere getallen bestaan". Dit heeft echter betrekking op de overaftelbaarheid van de verzameling reële getallen, en niet op infinitesemale grootheden. Het zal je inmiddels overigens wel duidelijk zijn dat ik de voorkeur aan de tweede definitie van Dictionary.com geef.
*net zoals het je inmiddels waarschijnlijk wel duidelijk zal zijn waarom mijn nickname zo is gekozen *

Everdarkgreen schreef op 19-09-2003 @ 08:47:
Maar mijn uitleg had inderdaad beter gekund, ik wilde ook eigenlijk alleen laten zien dat er twee soorten oneindigheid zijn, 'infinity' (het oneindig grote/verre) en 'infinitesimality' (het oneindig kleine/precieze).

Dat is dan bij deze duidelijk. Overigens maakt de wiskundige Dirk Jan Struik in zijn boek Geschiedenis van de wiskunde nog een ander soort onderscheid, namelijk tussen het potentiële en het actuele oneindige. Het eerste beschouwt het oneindige als een proces, het tweede als iets voltooids.

@Gatara: Mijn vorige reply had betrekking op de eerste reply van Everdarkgreen, en niet op het onderwerp van dit topic als zodanig.