Complexe getallen

Bereken alle complexe getallen z waarvoor z^3 = 1 + i

Ik kom hier niet uit, zelfs niet een beetje. Heeft iemand enig idee?

[GinnyPig]

Algemeen geldt:

z = |z|*(Cos[Arg[z]] + i Sin[Arg[z]])

In dit geval geldt verder:

|z|^3 = |1+i|
|z|^3 = Sqrt[2]
|z| = 2^(1/6)

En:
Arg[z^3] = Arg[1+i]
3*Arg[z] = pi/4 + 2*k*pi
Arg[z] = pi/12 + 2/3*k*pi

Hieruit volgen 3 oplossingen: k = 0, 1 of 2. Want voor k=3 geldt dezelfde oplossing als voor k = 0.

Dus krijg je:

z = 2^(1/6)*( Cos[pi/12] + i*Sin[pi/12] )
z = 2^(1/6)*( Cos[9*pi/12] + i*Sin[9*pi/12] )
z = 2^(1/6)*( Cos[17*pi/12] + i*Sin[17*pi/12] )

En dat zijn dus je oplossingen.

GinnyPig schreef op 08-10-2003 @ 16:48:
Algemeen geldt:

z = |z|*(Cos[Arg[z]] + i Sin[Arg[z]])

In dit geval geldt verder:

|z|^3 = |1+i|
|z|^3 = Sqrt[2]
|z| = 2^(1/6)

En:
Arg[z^3] = Arg[1+i]
3*Arg[z] = pi/4 + 2*k*pi
Arg[z] = pi/12 + 2/3*k*pi

Hieruit volgen 3 oplossingen: k = 0, 1 of 2. Want voor k=3 geldt dezelfde oplossing als voor k = 0.

Dus krijg je:

z = 2^(1/6)*( Cos[pi/12] + i*Sin[pi/12] )
z = 2^(1/6)*( Cos[9*pi/12] + i*Sin[9*pi/12] )
z = 2^(1/6)*( Cos[17*pi/12] + i*Sin[17*pi/12] )

En dat zijn dus je oplossingen.

Ja! Hier kwam ik na veel geploeter ook ongeveer op uit, alleen heb ik een paar dingen blindelings van het boek overgenomen.
Waarom is Arg[Z^3] <--> 3*Arg[z]??
En zijn de drie oplossingen niet voor k = -1, 0 of 1? (Immers, bij k = 2 krijg je pi/12 + 2/3*2*pi > pi. En de oplossing moet tussen -pi en pi liggen?).

Maar hartstikke bedankt!

[GinnyPig]

Ieder complex getal z is te noteren in de vorm van A*e^[i*p], waarbij geldt: |z| = A en Arg[z] = p.

Voor z^n geldt dan:
z^n = A^[n]*(e^[i*p])^[n]
Wat weer te noteren is als:
A^[n]*(e^[i*n*p])

Zoals je ziet geldt er nu:
1. |z^[n]| is gelijk aan A^[n], oftewel |z|^n.
2. Arg[z^n] is gelijk aan n*p, oftewel n*Arg[z].

Verder die laatste opmerking: controleer maar dat k = -1 dezelfde oplossing geeft als k = 2. De hoek verschilt namelijk met 2*pi. De oplossing hoeft namelijk niet per se tussen pi en -pi te liggen. k = 999 is ook een oplossing, in dit geval dezelfde als die van k = 0. Zolang je maar geen oplossingen dubbel telt is er niks aan de hand.

Algemeen geldt dat voor een polynoom van de n-de macht, met reële coefficienten, er ook n unieke oplossingen zijn.

[jbtq]

Een vraagje aan jullie. Ik zie hier pi/4 + 2*k*pi. Hoe komen ze hier aan pi/4?/ is dit vanwege het feit dat de hoek tussen 1 en i 90 graden is [ dus 1/4 pi]????

[blablalou]

hallo A..i,

Gebruik anders de formule van Moivre voor het vermenigvuldigen c-getallen:

z^n
= r^n [cos(n a) + i sin(n a) ] => ? met r =|z| en a = hoek
= R [cos(A) + i sin(A)] => 1 + i

Hier is r^n = R = sqrt(1 +1) met n=3
en a = A/n + k*2pi/n met cos(A) = 1/R

Meer over die formule ?

[mathfreak]

Anderssi schreef op 08-10-2003 @ 20:15:
Waarom is Arg[Z^3] <--> 3*Arg[z]??

Kijk maar eens naar het begin van mijn reply in http://forum.scholieren.com/showthre...hreadid=620015
Daar toon ik met behulp van de formule van Euler aan dat |zⁿ|=|z|ⁿ en
arg(zⁿ)=n*arg(z), waarbij n een natuurlijk getal voorstelt.

[Young Grow Old]

Ben je verplicht de vergelijking met de complexe e-macht op te lossen? Zo niet kan het natuurlijk ook algebraisch:
z^3=1 => z^3-1=0
1 is oplossing, want 1^3-1=0
Hoofdstelling van de algebra zegt dat z^3-1 dus deelbaar is door z-1:
Z^3-1=(z-1)(z^2-z+1)=0
Dus andere oplossingen als z^2-z+1=0
Abc-formule levert op: z = ½ ± ½*i*sqrt(3)
Nu heb je dus de 3 oplossingen van de 3e-graadsvergelijking

[GinnyPig]

Young Grow Old schreef op 12-10-2003 @ 15:47:
Ben je verplicht de vergelijking met de complexe e-macht op te lossen? Zo niet kan het natuurlijk ook algebraisch:
z^3=1 => z^3-1=0
1 is oplossing, want 1^3-1=0
Hoofdstelling van de algebra zegt dat z^3-1 dus deelbaar is door z-1:
Z^3-1=(z-1)(z^2-z+1)=0
Dus andere oplossingen als z^2-z+1=0
Abc-formule levert op: z = ½ ± ½*i*sqrt(3)
Nu heb je dus de 3 oplossingen van de 3e-graadsvergelijking

Je uitwerking klopt niet, aangezien 1^3 = 1, en (½ ± ½*i*sqrt(3))^3 = -1. Er moest juist gelden z^3 = 1+i

Verder is (z-1)(z^2-z+1) gelijk aan z^3 - 2z^2 - 2z - 1

Dus... tja...