samengestelde trillingen, vervormen

[Barbietjuh]

beste mensen,

in mijn boek staan een paar sommen en ik snap dr bar weinig van!

de 1e:
Gegeven zijn de families van parametervoorstellingen:
x = cos t
y= cos (t-a)

en
x = cos t
y = cos (t- b)
Er geldt: l b - a l = pi
Toon door berekening aan de twee krommen elkaars gespiegelde zijn in de x - as
??????????? Wat voor eigenschappen ofzo heeft een gespiegelde kromme?? en kan iemand mij de berekening uitleggen?

de 2e som:
Gegeven is de familie van parametervoorstellingen:
x = sin (t+a)
y = cos 0.5 t
a) geef de periode van de krommen --> 4 pi, dat snap ik wel
b) Plot de kromme voor a=1 en zoek de waarden van t waar de kromme zichzelf snijd. --> hoe is die waarde te bepalen? kun je die berekenen? zijn dan x en y gelijk aan elkaar ofzo?
c) Plot de kromme voor de waarden a=2, a=3, en a=4. Voor welke waarden van a snijdt de kromme zichzelf in het punt (0,0) --> hoe is die waarde van a te bepalen?
d) Voor welke waarden van a krijg je een kromme die twee keerpunten bevat -> hoe valt dat te bepalen?

Ik heb de antwoorden wel. Maar ik snap echt niet hoe ze er bij komen. Hoe kan ik dit doen? Ik hoop dat iemand me kan helpen!

[jbtq]

Voor de eerste vraag geld dus dat |a-b|=pi. Dus a zou pi kunnen zijn en b 0. Immers dan geld |a-b|=pi . Dan krijg je de formules:
x = cos t
y= cos (t-pi)

en
x = cos t
y = cos (t- o)

Wat dan opvalt is dat de x as het zelfde is, en daar zal dus geen verschil in zijn. Maar de y -as, de veticale as dus, verschilt wel. En om precies te zijn een pi. En dat zijn elkaar spiegelbeeld. Immers de cos t-pi loopt een pi achter op cos t. En daar uit komt dus dat ze elkaars spiegelbeeld zijn. Als je het niet gelijk ziet, dan moet je gewoon even plotten in normale assen. Dus voor x1=cos[x] en x2=cos[x-pi]. Dan zie je gelijk dat ze elkaars spiegelbeeld zijn. Dan weet je dus dat geld dat geldt dat wanneer y bij formule 1 positief is, de y bij formule 2 negatief en dezelfde waarde hebben. Als dat zo is, kun je zeggen dat ze dus elkaar spiegelbeeld zijn in de x-as. In dit voorbeeld neem ik overgens wel een makkelijk a en b, maar ze kunnen alle waardes hebben, zolang er maar eentje een pi achterloopt op de andere.

Bij vraag 2 b kun je het dus geowon plotten en dan kijken, maar je kan het dus ook berekenen. Ik weet het niet helemaal 100% zeker, maar als ik het goed heb moet je in dit geval de twee y en aan elkaar gelijk stellen. Met de x en aan elkaar gelijk stellen schiet je niet echt veel op. Dus je krijgt de vergelijking:

cos (t-a) =cos (t- b)
Voor a vul je 1 in en b reken je dan uit.
En voor b neme je dan bijvoorbeeld pi+1 [ staan absoluut strepen dus maakt niet echt uit dat er een negatief getal uit komt.] Dus de vergelijking word:
cos(t-1)=cos(t-pi+1)
En dat reken je verder uit

3 is gewoon berekenen. Dus weer b uit rekenen en dan weer die vergelijking oplossen. je krijgt dan een t waarde uit. Die t waarde vul je in in je forumle's en kijkt wat er uit komt voor de coordinaten. Zelfde als 2

[mathfreak]

Barbietjuh schreef op 22-11-2003 @ 13:14:
beste mensen,

in mijn boek staan een paar sommen en ik snap dr bar weinig van!

de 1e:
Gegeven zijn de families van parametervoorstellingen:
x = cos t
y= cos (t-a)

en
x = cos t
y = cos (t- b)
Er geldt: l b - a l = pi
Toon door berekening aan de twee krommen elkaars gespiegelde zijn in de x - as
??????????? Wat voor eigenschappen ofzo heeft een gespiegelde kromme?? en kan iemand mij de berekening uitleggen?

Ja hoor, dat kan. Om te beginnen moet je weten dat een punt (x,y) bij een spiegeling ten opzichte van de X-as het punt (x,-y) als beeld heeft. Er is gegeven: |b-a|=pi, dus b-a=pi of b-a=-pi, dus b=pi+a of b=-pi+a. Invullen van b=pi+a in y=cos(t-b) geeft dan: y=cos(t-pi-a)=cos(t-a-pi)=-cos(t-a), waarbij -cos(t-a) het tegengestelde is van de y-waarde bij de eerste kromme. Voor b=-pi+a vind je dat eveneens geldt: cos(t-b)=-cos(t-a), dus beide krommen zijn elkaars gespiegelde ten opzichte van de X-as.

Barbietjuh schreef op 22-11-2003 @ 13:14:
de 2e som:
Gegeven is de familie van parametervoorstellingen:
x = sin (t+a)
y = cos 0.5 t
a) geef de periode van de krommen --> 4 pi, dat snap ik wel
b) Plot de kromme voor a=1 en zoek de waarden van t waar de kromme zichzelf snijdt. --> hoe is die waarde te bepalen? kun je die berekenen? zijn dan x en y gelijk aan elkaar ofzo?

Er moet inderdaad gelden: x=y, dus sin(t+1)=cos(0,5*t)=sin(pi/2-0,5*t).

Barbietjuh schreef op 22-11-2003 @ 13:14:
c) Plot de kromme voor de waarden a=2, a=3, en a=4. Voor welke waarden van a snijdt de kromme zichzelf in het punt (0,0) --> hoe is die waarde van a te bepalen??

Er moet gelden: sin(t+a)=0 en cos(0,5*t)=0. Ga uit van cos(0,5*t)=0. Dit geeft: 0,5*t=pi/2+k*pi, dus t=pi+2*k*pi=(2*k+1)pi. Invullen van t in
sin(t+a)=0 geeft dan: sin((2*k+1)pi+a)=sin(-a)=0, dus -a=k*pi, dus a moet een veelvoud van pi zijn.

Barbietjuh schreef op 22-11-2003 @ 13:14:
d) Voor welke waarden van a krijg je een kromme die twee keerpunten bevat -> hoe valt dat te bepalen?

Voor een keerpunt moet gelden: x'=0 en y'=0, dus cos(t+a)=0 en
-0,5*sin(t)=0, dus cos(t+a)=0 en sin(t)=0. Stel cos(t₁+a)=0 en sin(t₁)=0 is de voorwaarde voor het eerste keerpunt en cos(t₂+a)=0 en sin(t₂)=0 is de voorwaarde voor het tweede keerpunt, dan geldt: cos(t₁+a)=cos(t₂+a) en sin(t₁)=sin(t₂). Hieruit kun je t₁ en t₂ en dus ook a bepalen.

[Barbietjuh]

heeeeey! echt enorm bedankt voor de antwoorden de tijd die jullie erin hebben gestoken! volgens mij snap ik het nu wel!