[Wiskunde B12] Contractiestelling

[nienie]

Ik ben voor m'n laatste schoolexamen wiskunde aan het leren en ik snap nog steeds (bijna) niets van de contractiestelling en vooral wat je er nu in feite mee kan. Zou iemand het mij (zonder het over te schrijven uit het Getal en ruimte-wiskundeboek) kunnen uitleggen?

Ik weet er wel wat over.
Het idee achter die stelling, is dat een rij wordt aangetrokken of afgestoten door een dekpunt.
Het dekpunt kun je berekenen door van de rij een functie te maken, en deze gelijk te stellen aan x.
Om te zien of een rij met een bepaalde startwaarde convergeert, dus naar het dekpunt toe gaat, of divergeert, er vanaf, maak je een zogenaamd vlinderdasje.
Dat doe je door in het dekpunt een lijn, loodrecht op y=x te trekken. Dat is dus altijd een lijn y=-x+b. Ligt de startwaarde nu binnen dat vlinderdasje, dan kun je er vanuit gaan dat de rij convergeert.
Maar, zoals gewoonlijk zijn er ook weer uitzonderingen op deze stelling.

[Young Grow Old]

een functie f is een contractie van een verzameling D, als:
-voor elke x uit D geldt dat f(x) in D ligt
-er bestaat een getal A<1, zo dat voor alle x,y uit D:
|f(x)-f|<=A*|x-y|

De contractiestelling zegt dan dat als voor een x uit D geldt dat de rij x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), ..... convergeert naar een bepaald punt c, dat c een vast punt is in D onafhankelijk van de gekozen x.

geen idee wat je hier op de middelbare school mee moet

[mathfreak]

Young Grow Old schreef op 25-04-2004 @ 20:39 :
een functie f is een contractie van een verzameling D, als:
-voor elke x uit D geldt dat f(x) in D ligt
-er bestaat een getal A<1, zo dat voor alle x,y uit D:
|f(x)-f(y)|<=A*|x-y|

De contractiestelling zegt dan dat als voor een x uit D geldt dat de rij x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), ..... convergeert naar een bepaald punt c, dat c een vast punt is in D onafhankelijk van de gekozen x.

geen idee wat je hier op de middelbare school mee moet :s

Met behulp van de contractiestelling, ook wel vast-puntstelling van Banach genoemd, kun je onderzoeken of een gegeven iteratieproces al of niet convergeert. Laat f een gegeven functie zijn met f(x_i)=x_i+1 als bijbehorend iteratieproces, dan geldt dat er precies één vast punt c is met c=f(c) waarnaar de rij, gedefinieerd door f(x_i)=x_i+1, convergeert.

@nienie: Deze stelling speelt een belangrijke rol in de functionaalanalyse, waar men metrische ruimten bestudeert die aan een bepaalde convergentie-eigenschap voldoen. Een metrische ruimte is een ruimte, waarbij de afstand tussen 2 punten in die ruimte wordt gedefinieerd door middel van een afstandsfunctie, die de metriek wordt genoemd. Het blijkt dat IR zo'n (Banach)ruimte is, vandaar dat de contractiestelling (in vereenvoudigde vorm) bij Wiskunde B2 aan de orde wordt gesteld.

[nienie]

Bedankt allemaal. Er staan inderdaad ook een paar iteratie-opgaven bij deze stof, waarmee we wel moeten kunnen rekenen, maar ik geloof dat ik het daarmee intussen wel door heb.
Maar ik begrijp dat je het (als je wiskunde op de universiteit hebt) nog veel uitgebreider krijgt?

nienie schreef op 25-04-2004 @ 21:28 :
Bedankt allemaal. Er staan inderdaad ook een paar iteratie-opgaven bij deze stof, waarmee we wel moeten kunnen rekenen, maar ik geloof dat ik het daarmee intussen wel door heb.
Maar ik begrijp dat je het (als je wiskunde op de universiteit hebt) nog veel uitgebreider krijgt?

ligt eraan welke studie je gaat doen

[nienie]

FlorisvdB schreef op 26-04-2004 @ 14:13 :
ligt eraan welke studie je gaat doen

Sterrenkunde, dus erg veel wiskunde.

Maar er is helemaal niets over gevraagd bij de toets, bij de examens in de examenbundel komt het ook nergens aan de orde dus ik denk dat ik me er maar helemaal niet meer druk om ga maken...

[mathfreak]

nienie schreef op 25-04-2004 @ 21:28 :
Maar ik begrijp dat je het (als je wiskunde op de universiteit hebt) nog veel uitgebreider krijgt?

Als je na het v.w.o. sterrenkunde gaat studeren zal het waarschijnlijk niet aan de orde komen. Als je daarentegen wiskunde zou gaan studeren zou je het mogelijk wel krijgen, maar dan zit je al op het terrein van de algemene topologie en functionaalanalyse. Bij sterrenkunde bestaat het wiskundige gedeelte hoofdzakelijk uit analyse (voornamelijk differentiaal- en integraalrekening) en lineaire algebra.

nienie schreef op 26-04-2004 @ 16:02 :
Sterrenkunde, dus erg veel wiskunde.

Maar er is helemaal niets over gevraagd bij de toets, bij de examens in de examenbundel komt het ook nergens aan de orde dus ik denk dat ik me er maar helemaal niet meer druk om ga maken...

Ik zou een aantal examens bekijken en als er daar niets over gevraagd wordt, en je komt het nergens tegen in examenbundels, kun je dat wel redelijk extrapoleren naar dit examen...

[Young Grow Old]

mathfreak schreef op 26-04-2004 @ 18:00 :
Als je na het v.w.o. sterrenkunde gaat studeren zal het waarschijnlijk niet aan de orde komen. Als je daarentegen wiskunde zou gaan studeren zou je het mogelijk wel krijgen, maar dan zit je al op het terrein van de algemene topologie en functionaalanalyse. Bij sterrenkunde bestaat het wiskundige gedeelte hoofdzakelijk uit analyse (voornamelijk differentiaal- en integraalrekening) en lineaire algebra.

ik heb deze stelling bij het vak analyse (eerste jaar) gehad, maar dit is een vak dat wiskundige-studenten krijgen en (natuur-en) sterrenkunde-studenten mogen kiezen als ze dat willen, is echter niet verplicht

[nienie]

In de propedeuse heb ik de vakken analyse 1 en analyse 2, dus misschien komt het dan nog terug. Maar goed, ik zie het wel.

[Young Grow Old]

nienie schreef op 26-04-2004 @ 19:57 :
In de propedeuse heb ik de vakken analyse 1 en analyse 2, dus misschien komt het dan nog terug. Maar goed, ik zie het wel.

ik weet niet waar je het gaat studeren, maar ik verwacht dat die analyse 1 en 2 vergelijkbaar zijn met wat bij mij calculus heet. Calculus is een deel van de analyse en vooral gericht op de rekenvaardigheid (je leert rekenen met integralen, differentiaalvergelijkingen, ed.). Meestal krijg je dan niet echt fundamentele stellingen goed bewezen.. Maar dat is natuurlijk ook niet de hoofdzaak voor een sterrenkundige.

[nienie]

Young Grow Old schreef op 26-04-2004 @ 20:39 :
ik weet niet waar je het gaat studeren,

Ik ga in Leiden studeren.

maar ik verwacht dat die analyse 1 en 2 vergelijkbaar zijn met wat bij mij calculus heet. Calculus is een deel van de analyse en vooral gericht op de rekenvaardigheid (je leert rekenen met integralen, differentiaalvergelijkingen, ed.). Meestal krijg je dan niet echt fundamentele stellingen goed bewezen.. Maar dat is natuurlijk ook niet de hoofdzaak voor een sterrenkundige.

Het eerste jaar is op twee kleine vakken na precies hetzelfde als natuurkunde en ik heb me laten vertellen dat vooral de wiskunde vrij pittig is. Ik zal vast ook wel dingen leren die je niet direct bij sterrenkunde nodig hebt, lijkt me...Stellingen bewijzen is ook een onderdeel van analytisch denkvermogen ontwikkelen.

Young Grow Old schreef op 26-04-2004 @ 20:39 :
ik weet niet waar je het gaat studeren, maar ik verwacht dat die analyse 1 en 2 vergelijkbaar zijn met wat bij mij calculus heet. Calculus is een deel van de analyse en vooral gericht op de rekenvaardigheid (je leert rekenen met integralen, differentiaalvergelijkingen, ed.). Meestal krijg je dan niet echt fundamentele stellingen goed bewezen.. Maar dat is natuurlijk ook niet de hoofdzaak voor een sterrenkundige.

Bij elektrotechniek krijgen we in het eerste jaar Calculus 1, calculus 2A en 2B en lineaire structuren.
Dan in het 2e jaar komt Analyse A en B
dus ik denk dat die Analyse dan toch wel wat anders is..

[Young Grow Old]

zou kunnen, maar ik weet dat er op sommige uni's het vak analyse gegeven wordt, terwijl dat gewoon calculus is. Verder weet ik dat sterrenkunde in Nijmegen geen analyse krijgt en wel calculus. Maar in Leiden ben ik nog nooit geweest, dus hoe het daar zit, weet ik niet. Het kan dus wel hetzelfde vak analyse zijn, maar zeker weten doe ik het niet