1 = 0,9999999999.... (repetent)

[GinnyPig]

Eens of niet?

nee, hoe lang je ook door gaat, je zal altijd minder blijven houden.

Zal wel een typisch wiskunde A-antwoord zijn...

[Alberto]

Ja hoor natuurlijk. Als je 0.999... met 10 vermenigvuldigt en er 9 vanaf haalt heb je hetzelfde weer terug. Dat geldt ook voor 1.

Ander bewijs:
De meetkundige reeks: s=a+a^2+a^3+a^4...
as=a^2+a^3+a^4+a^5+...
s-as=a (|a|<1 dus lim a^n = 0)
s=a/(1-a)

0.9999... = 9 * 0.1111...
0.1111... is de som van i=1 tot oneindig van (1/10)^i en dat is gelijk aan(hebben we net gezien) (1/10)/(1-(1/10)) = 1/9

En 9 * 1/9 = 1. Ietsje meer uitdaging zou wel leuk wezen

[choky]

neem:

0,99999... = x (1)
9,9999... =10x (2)

(2)-(1) geeft:

9=9x

dus is x (0,9999...) =1

(iets eenvoudiger, nee?)

[Tampert]

DutchECK schreef:
nee, hoe lang je ook door gaat, je zal altijd minder blijven houden.

hmmz... we gaan erbvanuit dat je oneindig doorgaat... en daarom is het 1...

[GinnyPig]

ok ok, mensen rustig...
Ik had hetzelfde bewijs ook al bedacht
zal volgende keer wel met iets uitdagender komen

Of weten jullie iets beters...

[Alberto]

Okee Choky. Misschien leg je het iets beter uit. Maar dat bewijs is equivalent met mijn eerste twee regels.

Het 2e bewijs dat ik geef is veel krachtiger. Daarmee kun je zonder moeite ook bijv. 0.abcabcabc... in termen van a, b en c schrijven. (a,b,c element uit {0,1,...,9} ) Daarom deed ik dat bewijs erbij.

[Alberto]

Oh ja, en GinnyPig. Ik weet wel iets beters.
Stelling: (Goldbachs Conjecture)

Elk natuurlijke getal > 3 is de som van twee priemgetallen.

Ik denk dat dit zo is. Er is nog nooit een tegenvoorbeeld gegeven.

[choky]

alberto:
duh!!!

da uw eerste bewijs 't zelfde is haddek ook wel al door
't is maar da ik doorheb da de gemiddelde forumbezoeker uw taai bewijs gewoon nie zou lezen en da mijn bewijs der gewoon gemakkelijker uitziet, ook al is 't in feite 't zelfde

(en waarom iets moelijk voorstellen da eigenlijk gemakkelijk is?)

[Tampert]

Alberto schreef:
Oh ja, en GinnyPig. Ik weet wel iets beters.
Stelling: (Goldbachs Conjecture)

Elk natuurlijke getal > 3 is de som van twee priemgetallen.

Ik denk dat dit zo is. Er is nog nooit een tegenvoorbeeld gegeven.

Ziet er best aannemelijk uit...

[GinnyPig]

Is het ook

maar bewijs het maar eens

Ben je een miljoen pond rijker

[Joël]

Alberto schreef:
Ja hoor natuurlijk. Als je 0.999... met 10 vermenigvuldigt en er 9 vanaf haalt heb je hetzelfde weer terug. Dat geldt ook voor 1.

0.999 × 10 = 9.99

9.99 - 9 = 0.99

toch?

Alberto schreef:
s=a+a^2+a^3+a^4...
as=a^2+a^3+a^4+a^5+...

je bedoelt:

s=a+a^2+a^3+a^4...
s-a=a^2+a^3+a^4+a^5+...

Alberto schreef:
9 * 1/9 = 1

Maar je vergeet dat 1/9 niet gelijk is aan 0.1111....

[Joël]

choky schreef:
neem:

0,99999... = x (1)
9,9999... =10x (2)

(2)-(1) geeft:

9=9x

dus is x (0,9999...) =1

(iets eenvoudiger, nee?)

Je vergeet die negen die helemaal achteraan staat; 0,99999999999. Als alles 1 plaatsje naar links schuift (bij vermenigvuldiging met 10) komt daar een 0.

[Tampert]

Joël schreef:
Je vergeet die negen die helemaal achteraan staat; 0,99999999999. Als alles 1 plaatsje naar links schuift (bij vermenigvuldiging met 10) komt daar een 0.

Hmm... Dát is dus de denkfout die de meeste mensen maken.. Je gaat ervanuit dat die negens éindeloos lang doorgaan. Er is dus geen laatste negen. Élke waarde die een laatste negen heeft is ongelijk aan één, daar heb je gelijk in.

[Tampert]

GinnyPig schreef:
Is het ook

maar bewijs het maar eens

Ben je een miljoen pond rijker

Ok... wij gaan het oplossen

Kan iemand me uitleggen hoe je priemgetallen berekent? (er is een manier die niet op 'proberen' gebaseerd is toch?)

[Meggie]

tsjah, als je drachter komt hoe je priemgetallen berekent ben je óók rijk

dr is geen formule voor

veel succes iig.... you'll need it

[Joël]

Tampert schreef:
Élke waarde die een laatste negen heeft is ongelijk aan één, daar heb je gelijk in.

Elke waarde die begint met 0,9.... is <> 1.

[Alberto]

Choky: In mijn ogen was het in elk geval zo logisch/simpel als het maar kon.

Wel grappig zoals Joël mij 3 keer foutief verbeterd. Ik geef die jongen 2 bewijzen en dan nog wil hij er niet aan geloven. (Waarschijnlijk omdat het tegen zijn intuitie is.) Maar ik wil nog wel even met hem doorlopen wat hij niet begrepen heeft.

1e: Als je 0.999... (en dan oneindig veel negens) met 10 vermenigvuldigt staat er
9.999... (en dan oneindig veel negens). Als je er dan 9 vanaf haalt, staat er gewoon weer 0.999...(en dan oneindig veel negens) Volgens mij is hier geen speld tussen te krijgen.

2e: Als je de som s = a + a^2 + a^3 + a^4 + ... (en dat oneindig ver door) met een a vermenigvuldigt, betekent dit dat je elke term met een a moet vermenigvuldigen. Dus:
as = a^2 + a^3 + a^4 + a^5 + ... (en dat oneindig ver door)

3e: En dit vind ik vervelend. Ik verbeter iemand pas als ik bijna 100% zeker weet dat ik gelijk heb. Als ik het niet begrepen heb zeg ik: 'Ik heb het niet begrepen.' Dat 0.111... (en dan oneindig veel 1'en) gelijk is aan 1/9 heb ik daar vlak voor aangetoond.

Je schrijft: 'Elke waarde die begint met 0,9.... is <> 1' Dat is hartstikke leuk allemaal maar waar baseer je dat op? Er zijn net twee bewijzen gegeven die het tegendeel bewijzen. Ik vrees dat je stelling nergens op gegrond is en deze is derhalve niet serieus te nemen.

[Alberto]

Tampert schreef:
Kan iemand me uitleggen hoe je priemgetallen berekent? (er is een manier die niet op 'proberen' gebaseerd is toch?)
[/B]

Een manier is de volgende die terug gaat naar Euclides(geloof ik). Een bewijs dat er oneindig veel priemgetallen zijn(ga natuurlijk alleen even van natuurlijke getallen uit):

Definitie: Een getal is priem dan en slechts dan als het getal alleen deelbaar is door 1 en zichzelf.

Stelling: Een getal a is priem dan en slechts dan als het getal door geen enkel van de voorgaande priemgetallen deelbaar is(Je hoeft eigenlijk alleen de priemen tot Sqrt[a] te bekijken maar okee).

Bewijs: Elk getal a bestaat uit een product van priemgetallen. Om te kijken of een getal b deelbaar is door alle a<b wil je dus kijken of deze a en b gemeenschappelijke factoren hebben. Dit zijn precies de priemgetallen. Dus je hoeft alleen de priemgetallen op deelbaarheid te controleren.

Stelling(Euclides): Er zijn oneindig veel priemgetallen.

Bewijs: Neem de eerste N priemgetallen en vermenigvuldig deze met elkaar. Tel er 1 bij op en je hebt een getal dat niet meer deelbaar is door alle voorgaande priemgetallen en dus zelf priem is. Dit kun je voor alle N doen, dus er zal steeds weer een nieuw priemgetal bestaan.(QED)

En hier heb je meteen je methode. Maak eerst een array met alle priemgetallen onder een bepaalde N. Vermenigvuldig ze met elkaar en tel er 1 bij op. Ik heb wel eens een programmatje een paar uur aan laten staan. Je krijgt er enorme priemgetallen uit.

Ik ben op het moment een mersenne priemgetal aan het uitrekenen (www.mersenne.org) van meer dan 10.000.000 decimalen. Ik ben op 8.75 %. Dat raad ik jullie ook aan als jullie je idle time nog niet gebruiken.

[Joël]

Alberto schreef:
Je schrijft: 'Elke waarde die begint met 0,9.... is <> 1' Dat is hartstikke leuk allemaal maar waar baseer je dat op? Er zijn net twee bewijzen gegeven die het tegendeel bewijzen. Ik vrees dat je stelling nergens op gegrond is en deze is derhalve niet serieus te nemen.

Zoiets heet: WISKUNDIGE LOGICA. Als links van het is teken niet hetzelfde staat als recht, staat er een onware bewering. Dat is een afspraak die mensen hebben gemaakt. QED.

[Joël]

Alberto schreef:
1e: Als je 0.999... (en dan oneindig veel negens) met 10 vermenigvuldigt staat er
9.999... (en dan oneindig veel negens). Als je er dan 9 vanaf haalt, staat er gewoon weer 0.999...(en dan oneindig veel negens) Volgens mij is hier geen speld tussen te krijgen.

Met een dergelijke rekensom KUN je simpelweg niet iets bewijzen. Net ziets als: 4 × 10 = 40, 40 - 9 = 31, dus 4 = 31. Gewoon klinklare nonsense.

Alberto schreef:
oneindig

Dit is dus het woord woorap alle paradoxen gebasseert worden. Om dingen te bewijzen die niet waar zijn heeft men nu eenmaal oneindigheid nodig, blijkbaar.

[Tampert]

Joël schreef:
Dit is dus het woord woorap alle paradoxen gebasseert worden. Om dingen te bewijzen die niet waar zijn heeft men nu eenmaal oneindigheid nodig, blijkbaar.

... Maar in dit geval moet ook wel uitgegaan worden van oneindig veel negens, anders klopt inderdaad de redenering niet. Het is natuurlijk zo dat elke afronding van 0,999999... op 1 uitkomt. Daar valt niet over tw twisten. Dit komt omdat elk getal dat op een negen volgt weer zelf een 9 is. We kunnen natuurlijk in discussie treden over het bestaan van het getal 9,9999999999... Ik geloof namelijk niet dat dit getal bestaat. Ditt is dan ook een puur theoretische theorie (hmmz... klinkt logisch).

[GinnyPig]

Tampert schreef:
... Maar in dit geval moet ook wel uitgegaan worden van oneindig veel negens, anders klopt inderdaad de redenering niet. Het is natuurlijk zo dat elke afronding van 0,999999... op 1 uitkomt. Daar valt niet over tw twisten. Dit komt omdat elk getal dat op een negen volgt weer zelf een 9 is. We kunnen natuurlijk in discussie treden over het bestaan van het getal 9,9999999999... Ik geloof namelijk niet dat dit getal bestaat. Ditt is dan ook een puur theoretische theorie (hmmz... klinkt logisch).

Als je er vanuit gaat dat het getal 0,999999... bestaat, dan moet 9,999999.. ook bestaan.

Immers is 9 + 0,999999... de optelling van 2 getallen en komt daar dus 9,999999 uit. Wat dan weer gelijk is aan 10.


Nog iets:

1 - 0,99999.... (deze noem ik ff a)

a is dus: 0,00000000.....
1/2 * a = 0,0000000000...../2

Een oneindig repeterende reeks nullen door 2 delen? ahjah....

[Tampert]

GinnyPig schreef:
Als je er vanuit gaat dat het getal 0,999999... bestaat, dan moet 9,999999.. ook bestaan.

Mjah... Mijn fout. Ik wilde het bestaan van 0,9999999... in twijfel trekken... Niet het bestaan van 9,9999... áls 0,99999... zou bestaan...

[hopeloos geval]

DutchECK schreef:
nee, hoe lang je ook door gaat, je zal altijd minder blijven houden.

Zal wel een typisch wiskunde A-antwoord zijn...

K vind dat je gelijk hebt

[Alberto]

Joël: AAaarrcchh! Je snapt het gewoon nog steeds niet. Als links niet hetzelfde staat als rechts mag er natuurlijk geen gelijkteken staan. Maar DAT is nou juist wat we bewezen hebben. Je klaagt erover dat ik het woord oneindig gebruik; denk je dat ik dat graag doe? Maar omdat jij de notatie van 0.999... niet kent moet ik een woord gaan gebruiken(oneindig) dat jij wel kent. Okee, je wilt geen paradoxale woorden? Jij je zin. Hier krijg je het bewijs in een taal die wel goed gedefinieerd is:

Laat a een rij zijn zodanig dat de a = 9*(10^-n). Laat nu s de partiële som zijn van orde n met algemene term a. Als de limiet(n->oneindig) van s bestaat noemen we deze s. Aangezien s strikt monotoom stijgend is en gemajoreerd wordt door 1 bestaat de limiet. Dus de limiet(n->oneindig) van s = s, waarbij s een reëel getal is. Nog aan te tonen dat 1 het supremum is. Kies een getal b=1-epsilon, waarbij 0.01>epsilon>0 een reëel getal is. Omdat voor alle epsilon er een N bestaat zodanig dat n>N impliceert s>b is aan deze voorwaarde voldaan. Dus lim(n->oneindig) s = 0.999... = 1.

[Joël]

Alberto schreef:
Je klaagt erover dat ik het woord oneindig gebruik; denk je dat ik dat graag doe? [knip] Okee, je wilt geen paradoxale woorden? Jij je zin.

Ik vind het eerlijk waar een heel intelligente rekensom, maar je blijft het woord oneidig precies op dezelfde manier gebruiken.

[GinnyPig]

Joël schreef:
Ik vind het eerlijk waar een heel intelligente rekensom, maar je blijft het woord oneidig precies op dezelfde manier gebruiken.

In de stelling zelf wordt oneindig al gebruikt... waarom zou je het dan niet in het bewijs mogen gebruiken?

[Joël]

GinnyPig schreef:
waarom zou je het dan niet in het bewijs mogen gebruiken?

Zoveel paradoxen waarvan je kan beredeneren dat ze niet waar zijn, zijn gebaseert op oneidigheid.

[GinnyPig]

Joël schreef:
Zoveel paradoxen waarvan je kan beredeneren dat ze niet waar zijn, zijn gebaseert op oneidigheid.

Zoals?

[Alberto]

Joël schreef:
Ik vind het eerlijk waar een heel intelligente rekensom, maar je blijft het woord oneidig precies op dezelfde manier gebruiken.

Dat is onjuist. Ik neem de limiet voor n naar oneindig. Dat is exact gedefinieerd. Niets paradoxaals aan. Dat betekent dat ik na elke stap nog een stap verder ga. Ik toon eerst aan dat deze limiet bestaat (s convergeert), en daarna laat ik zien dat hij 1 is. Ik heb precies de definitie van de limiet p van een rij s aangetoond. Nl: Voor alle epsilon>0 bestaat er een N zodanig dat n>N impliceert |s-p|<epsilon. De limiet(n->oneindig) s is een andere notatie om dit te zeggen.

[Zorkman]

/me is akkoord met choky en albetro
ik ga der nie verder op in gaan..zij hebben al meeeer dan hun best gedaan het duidelijk te maken

btw: er is iets mis met choky: ze gebruikt het woord "harstikke" !
-ofwel heb ik me mislezen omdat het snel moest gaan-

[waaromniet?]

Joël schreef:
Met een dergelijke rekensom KUN je simpelweg niet iets bewijzen. Net ziets als: 4 × 10 = 40, 40 - 9 = 31, dus 4 = 31. Gewoon klinklare nonsense.

Er is maar één getal dat er aan voldoet dat je wanneer je het met tien vermenigvuldigt en daar negen vanaf trekt weer hetzelfde is, namelijk één.

Als dit voor 0,9999enz ook op gaat is dat dus gelijk aan één.

[Joël]

waaromniet? schreef:
Er is maar één getal dat er aan voldoet dat je wanneer je het met tien vermenigvuldigt en daar negen vanaf trekt weer hetzelfde is, namelijk één.

Als dit voor 0,9999enz ook op gaat is dat dus gelijk aan één.

Ah... Met dat vliegtuig...

Dat klinkt opzich nog wel logisch, ja...

[waaromniet?]

Joël schreef:
Ah... Met dat vliegtuig...

Dat klinkt opzich nog wel logisch, ja...

[Joël]

Ieder1 blij...

.