Snijden op oneindig vs. Axioma van Euclides

[Zorkman]

Wij zijn ons dus op dit moment aan het "amuseren" met projectieve meetkunde in de wiksundelessen.
Het probleem dat ik ga beschijven is evenwel toepasbaar in de "gewone" analytische meetkunde, maar ik vermeld het er gewoon bij voor moest er ergens in een godvergeten achterhoeksen van projectieve meetkunde nog een achterpootjen zijn
het is dus een feit dat twee evenwijdige rechten snijden op oneindig,
dus in + en - oneindig ("boven en onder" "links en rechts"),
dit zijn dus TWEE snijpunten (als het niet overtuigend is die twee snijpunten, probeer het dan uit me vier halfrechten, twee aan twee met tegengestelde richtingcoëfficiënten en twee beginpunt)

MAAR, het axioma van Euclides zegt ons dat twee verschillende punten juist één rechte bepalen
het gaat hier echter over twee evenwijdige verschillende rechten,
contradictie??

graag slimme antwoorden, want ik ben niet slim genoeg :-)
ik zie enkel de mogelijkheid dat er maar 1 snijpunt is, maar dat lijkt mij hoogst onlogisch en als iemand mij kan overtuigen zallek heel tevreden zijn (maar een beetje minder dan wanneer ge mij gelijk geeft :-))

merci hé

[Tampert]

Daar henb je wel een punt ja. Maar waarschijnlijk heeft het ermee te maken dat voor punten in het onweindige speciale regels gelden... Net zoals voor berekeningen met oneindigheden erin...

[Alberto]

Ik ben het met Tampert eens. Ik vind het een beetje eng om over een 'punt' in het oneindige te praten. Je mag dat 'punt' niet op dezelfde manier manipuleren als je met een gewoon getal doet. Bijvoorbeeld als je de afstand van dat 'punt' met een getal a zou vermenigvuldigen zou de afstand niet a keer zo groot worden maar hetzelfde blijven. Ik zie dus niet in waarom je aan mag nemen dat het axioma van Euclides met deze 'punten' geldig is.

Verder begrijp ik niet waarom twee evenwijdige lijnen 'in het oneindige' elkaar zouden snijden. Algebraisch gaat het fout vb)
y1 = a1
y2 = a2
lim(x->oneindig) y1 = lim a1(x->oneindig) = a1
lim(x->oneindig) y2 = lim a2(x->oneindig) = a2
a1 is bij niet samenvallende lijnen ongelijk aan a2. Dus deze lijnen snijden elkaar niet.

[Alberto]

Wel potverdorie... Wil ik na mijn : een ( neerzetten, maakt hij er zo'n rare smile van.

[Zorkman]

Alberto schreef:
Verder begrijp ik niet waarom twee evenwijdige lijnen 'in het oneindige' elkaar zouden snijden.

danku voor de reactie, maar ik weet 200% zeker dat het algemeen wiskundig aanvaard is dat evenwijdige rechte elkaar snijden op oneindig, neem dus aan dat dit klopt (serieus, ik weet dat ik over vele dingen geen verstand heb, maar van dit ben ik zeker)

dan nog..een punt op oneindig is een punt
en twee punten, ook op oneindig, bepalen één rechte
axioma's zoals dan van eucildes gelden in het gehele vlak en een vlak is oneindig groot, dus zal het ook wel gelden voor de punten op oneindig og het loopt helemaal in het honderd (lijkt logisch, nee?)

misschien leg ik het een beetje verkeerd uit... toch vind ik dat ik gelijk heb en dat er iets niet moet kloppen -afgezien van de dingen dien jullie zeggen, want ik ben niet overtuigd- :-)

toch bedankt, hoop wel da ge betere dinges gaat vinden

[DrPain]

oneindig wordt gebruikt bij limiten en bereik dat is om vergelijkingen te benaderen. Maar y=1 en y=2 als je daar de snijpunten van wil weten moet je ze aan elkaar gelijk stellen 1=2 (kan niet) dus ik haak af.

(of beweren jullie dat in het oneindige 1 gelijk is aan 1 000 000 000 000 000 dat alles in 1 punt uit komt?)

(en een punt is 1 dementionaal of te wel een oneindige rij van nix. Kan dat in het oneindige?)

[edit]Leuk iets om over te discussieren, intressant (en dat meen ik ) [/edit]

[Zorkman]

probeer eens aante nemen dat twee venwijdige rechten mekaar WEL in oneindig snijden, ik kan het intuïtief een beetje aanvoelen maar niet wiskundig verklaren, just believe me

en as ge mij nie gelooft, losset dan aub op, aannemend da ze snijden in oneindig :-)

[DrPain]

Als ik dat aan neem dan is de lijn niet meer recht. Want 2 rechte lijnen snijden elkaar maar in 1 punt, of geen. En zoals jij zegt -oneindig en +oneindig. Dus 2 punten.

[Zorkman]

dat is één van de dingen die ik dus bedoel met contradictie,
moesten jullie nu ook weten dat twee evenwijdige rechten mekaar snijden op oneindig, dan zouden jullie dus ook vinden dat dit een contradictie schept, nee?

[DrPain]

Ja kijk, neej als je het zo bekijkt zijn er als nog 2 kanten aan het verhaal. Aan de ene kant heb je natuurlijk de rationeel nadenkende manier, en aan de andere kant heb je de wiskundige regels der benadering. En als je die 2 nou allebei apart bekijkt en later pas gaat nadenken over hoe het nou kan dan kom je misschien wel tot de conclusie dat het hele verhaal makkelijker zou zijn als je maar 1 lijn had.

(Uhm ik lul maar wat, ik heb geen flauw ideej waar je het over hebt.)

[Femke]

Ik begrijp echt niet waarom twee evenwijdige lijnen elkaar zouden snijden in het oneindige.
Mijn boek zegt:
Twee lijnen die in één vlak liggen en géén punt gemeen hebben, noemen we evenwijdige lijnen. Als de lijnen zouden snijden op oneindig en - oneindig hebben ze (minstens) een punt gemeen --> dus niet evenwijdig?

Dus als je nou even uitlegt hoe je aan die wijsheid komt is het voor mij (ons?) een stuk makkelijker om met je mee te denken .



[Dit bericht is aangepast door Femke (05-10-2001).]

[Alberto]

Nou over een punt zijn we het in elk geval eens. Als we aannemen dat twee punten elkaar 'in het oneindige' snijden leidt dit tot een contradictie.

Maar Zorkman, de twee evenwijdige lijnen die ik gaf snijden elkaar niet 'in het oneindige', of er zit een fout in mijn redenering.

[Zorkman]

ik weet het alberto en femke,
ik kan het niet wiskundig verklaren waarom ze in oneindig snijden, alleen intuïtief lijkt het me niet zo onmogelijk
ik heb echter uit de monden van verschillende wiskundeleraars gehoord dat twee evenwijdige rechten mekaar snijden op oneindig...

ik heb een mail gestuurd naar een prof van de FTW (faculteit toegepaste wetenschappen in gent), 'khoop da hij een beetje duidelijkheid kan scheppen

[Tampert]

kijk.... Dat die lijnen elkaar in oneinidg snijden daar ben ik het mee eens. (dat is een definitie), maar zodra je gaat rekenen met oneinidigheden gaat het gewoon altijd mis. Je kent het voorbeeldje vast wel van de limieten.

We zijn het erover eens dat x*0 = * en dat x*oneindig = oneindig

Stel je hebt een functie a die de limiet oneinig heeft en je hebt een functie b die de limiet 0 heeft. Je kunt dan zonder meer niets zeggen mover de limiet van a * b. Je krijgt dan namelij keen limiet 08 * oneuindig. Dat kán gewoon niet berekend worden.

Ik denk dus dat het in jouw probleem ook zoiets is wat je gewoon niet mág doen met oneindig...

[DrPain]

Je kan ook niet rekenen met oneindig, je kunt benaderen met oneindig (limieten enzow)

[Zorkman]

hmmmz0r
een perfect voorbeeld voglens jullie dus dat men met oneindig sjoemelt dat' geen doen is
het is echter ook een definite dat het "oneigelijke punt" (ik denk dat ze in de projectieve meetkunde het punt op oneindig zo noemen -ik zou het eens moeten nakijken) een BESTAAND punt is van dat vlak...
kweetniet, het wordt laat en mijn geest is trager al....

toch geeft de wiskunde op vele momenten de indruk van oneindig uit te diepen of links laten te ligen naargelang de regels ermee blijven kloppen, jullie zullen zelf wel genoeg voorbeelden daarvan weten

[DrPain]

f(x)=1/x
Dan heb je lim->oneindig=0

Toch zal de grafiek nooit in y=0 aankomen

y=0 komt nooit voor dus oneindig ligt niet in het vlak

[Tampert]

Zorkman, heb je nog reactie gekregen o[p je mail?

[Zorkman]

ja,
zallet es mailen
maar het was al bij al een niet al te snuggere vraag
bij affiene meetkunde echter, DAAR zitten de echte fouten, daarove rheb ik echter geen mails gestuurd,
maar de leraar is ons al een paar weken denkek het antwoord verschuldigd maar vindt het niet

[DrPain]

LOL, ik ben door dit topic eik best wel benieuwt geworden

[Tampert]

Zorkman schreef:
ja,
zallet es mailen
maar het was al bij al een niet al te snuggere vraag
bij affiene meetkunde echter, DAAR zitten de echte fouten, daarove rheb ik echter geen mails gestuurd,
maar de leraar is ons al een paar weken denkek het antwoord verschuldigd maar vindt het niet

dank ik wacht vol panning
(mja je kunt die mail ook gewoon posten )

[Zorkman]

't is al gemaild
en posten..niemand behalve wie geinteresseerd is leest zoiets lang
en eg wordt de rnie echt wijzer uit....
nee?

[Tampert]

Zorkman schreef:
't is al gemaild
en posten..niemand behalve wie geinteresseerd is leest zoiets lang
en eg wordt de rnie echt wijzer uit....
nee?

ik heb hem nog niet binnen, maar als het lang is kun je het indd beter laten zitten.

[Alberto]

Ik ben ook erg benieuwd naar die mail, maar ik ben niet bereid mijn e-mail adres te geven. Kun je hem hier echt niet posten?

[DrPain]

Daar bennik eik ook voor... mensen die dit niet boeit haken toch al na de eerste post af. En als je een beetje geboeit bent ben je aan het eind van die discussie wel zo nieuwsgierig dat je dit ook leest...

(Kun je anders niet kopieren naar een text bestand, en dat uploaden en dan de link hier neer zetten???)

[Zorkman]

ach als er zo'n vraag naar is zettek hem ier wel zenne
had gewoon gedacht da niemand hier nog in geïnteresseerd zou zijn:


Geachte heer Matthys,

in uw gedachtengangen loopt een aantal zaken dooreen, nl:

euclidische meetkunde
projectieve meetkunde
analyse op de reele as

om met dit laatste te beginnen: + oneindig en - oneindig zijn twee symbolen
(geen getallen!) waarmee men aanduidt resp
"groeter dan om eht even welk reeel getal" , "kleiner dan idem"; dit kan omdat
het veld van de reele getallen geordend is
(groter dan, kleiner dan); deze symbolen duiken op bij het bestuderen van
limieten
aangezien deze symobolen geen getallen zijn zijn het ook geen "punten die op
oneindig liggen"; hun gebruik wordt strikt beperkt
tot analyse op de reele getalllen as

in de euclidische meetkunde zijn evenwijdige rechten, rechten die elkaar niet
snijden (denk aan het beroemde axioma dat stelt dat door een punt niet op een
rechte gelegen er juist een rechte gaat die evenwijdig is met de gegeven rechte)

als men zich, in het kader van de euclidische meetkunde (dit is, grofweg,
meetkunde met gebruik van afstand en rechte hoek),
laat verleiden tot uitspraken als "twee evenwijdige rechten snijden elkaar op
oneindig", dan is dit spijtig, want niet alleen onzin maar ook verwarring
scheppend; in de euclidische meetkunde bestaan er geen "elementen op oneindig"

in de projectie meetkunde, dit is, grofweg, meetkunde die gebruik maakt van
incidentie en dubbelverhouding, snijden twee rechten, die niet samenvallen,
elkaar altijd in een punt.
voor elke projectieve meetkunde bestaan verschillende modellen; een van deze
modellen is gebruik maken van klassieke meetkunde, waarbij elke richting, dit is
een equivalentieklasse van evenwijdige rechten, juist een "punt op oneindig"
bepaalt;
de verzameling van elle punten op oneindig noemt men dan de rechte op oneindig
[we werken in het vlak]; dit model kan zelfs worden geimplementeerd in de
cartesiaanse meetkunde met behulp van homogene coordinaten (x,y,z) waarbij aan
deze
rechte op oneindig de vergelijking z=0 wordt toegekend. In dit model heeft elke
rechte, dus ook de "x-as" en de "y-as"
1 punt op oneindig!

in uw hieronder geschetste redenering maakt u gebruik van twee punten op
oneindig van de x-as; u haalt deze uit de analyse
en dat leidt tot "contradicties"

vriendelijke groet

Fred Brackx


Yorick Matthys wrote:

> Sorry om u te storen Professor
>
> Ik ben een leerling van 6 La-Wi (8uur) van het Sint-Jozelfscollege en krijg
> les van de befaamde heer Beeckman.
> Wij zijn nu de projectieve meetkunde aan het bestuderen en daaromtrent ben
> ik een contradictie tegengekomen (denk ik). Hoewel ik vrij zeker ben dat ik
> gewoon iets oer het hoofd zien en de wiskunde natuurlijk niet zou falen, zou
> ik graag over argumentatie beschikken, spijtig genoeg ben ik (nog) niet
> intelligent genoeg.
> Het probleem is niet alleen toepasbaar op de projectieve meetkunde maar ook
> op de analytische meetkunde, ik vermeld dit er echter bij omdat het
> misschien voor iemand met een grotere kennis belangrijk is.
>
> Men heeft mij van in de tweedes geleerd dat twee evenwijdige rechten mekaar
> snijden op oneindig. Als dit gebeurt in bijv een twee dimensionale ruimte
> als een vlak, dan zullen ze snijden op + en - oneidig (hetzij op de x-as of
> de y-as of op beiden oneindig).
>
> Een ander vroeg aangeleerd axioma (nl dit van Eulcides) leert ons dat twee
> punten juist één rechte bepalen.
>
> De snijpunten op plus en min oneindig bepalen in het beschreven geval echter
> twee discjuncte evenwijdige rechten die dus alles behalve gelijk zijn.
>
> contradictie?
>
> De enige reden dat ik vind waarom het toch geen contradictie is zou zijn
> omdat de rechten maar in 1 punt snijden, maar hoe kan dit?
> Beschouwt men bijv twee halfrechten A B C D, allemaal onderling evenwijdig
> met de X-as
> A begint in de oorsprong en loopt naar min oneindig op de x-as
> B begint in de oorsprong en loopt naar plus oneingig op de x-as
> C begint in (0,1) en loopt naar min oneindig op de x-as
> D begint in (0,1) en loopt naar plus oneingig op de x-as
>
> A en C zullen dan een snijpunt hebben op min oneindig op de x-as
> B en D zullen dan een snijpunt hebben op plus oneindig op de x-as
> de dragers van de halfrechten moeten dan toch dezelfde snijpunten hebben als
> deze vier rechten samen?
>
> een beetje uitleg zou met grote dankbaarheid aanvaard worden
>
> dank bij voorbaat
> yorick


zoals ik zei..al bij al was het stom van mij
bij affiene zullen ze meer moeten doen maarja,
onze leraar krijgt niemeer genoeg slaap

[DrPain]

Zo lang issie toch nie?

[Zorkman]

te lang voor de informatie die hij biedt :-)

[Alberto]

Bedankt voor de post Zorkman. Ik heb nog nooit iets met projectieve meetkunde te maken gehad, maar ik denk dat ik nu ook snap wat er fout ging. Je redeneerde in twee verschillende stelsels. Toch?

[Zorkman]

mja,
deels
bij projectieve metkunde mag men strikt genomen ed tyerm "evenwijdigheid" niet in de mond nemen