oef op complexe getallen

[bulbanos]

hoeveel is 1+i²+i³+i^4+i^5+...+i^4n ?
met n element van N zonder 0
thx

[mathfreak]

Jouw vraag heeft betrekking op het berekenen van de som van een meetkundige rij. Een meetkundige rij wordt gevormd door een vast getal a te nemen en dit met een gegeven getal r (de reden) te vermenigvuldigen. Zo'n rij is voor te stellen door de formule a=a*r^n-1 waarbij a de n-de term van de rij voorstelt. Voor de som s van de termen van zo'n rij geldt:
s=(a*(1-r^n))/(1-r), mits r niet 1 is. Voor r=1 geldt:
s=n*a.
In jouw voorbeeld geldt: a=1 en r=i en wordt gesommeerd over de eerste 4n+1 termen van de rij. Voor s(4n+1) vinden we dus:
s(4n+1)=(1-i^4n+1)/(1-i). Nu geldt: i^4n=1, dus i^4n+1=i^4n*i=1*i=i, zodat we vinden:
s(4n+1)=(1-i)/(1-i)=1.

[Dit bericht is aangepast door mathfreak (20-01-2002).]