[WI] Problemen toelatingsexamens

[wp160366]

Hallo,

Voor wiskunde moet ik tegen morgen een lijst van 50 problemen, door de leraar samengesteld uit toelatingexamens maken.

Ik heb ze (denk ik) allemaal gevonden uitgenome deze 2:

- Zoek twee getallen als je weet dat hun som, hun product en het verschil van hun kwadraten dezelfde waarde hebben.

en

- Bereken a en b opdat: 4x^4+7x^3-ax^2+bx+20 deelbaar is door (x+1)(x-2) en zoek daarna hun quotiënt.


Iemand die kan helpen?

Wim

bij de eerste: nul?
ik weet niet of dat getal ook meetelt maar 't klopt wel

[wp160366]

citroen schreef op 15-09-2004 @ 17:25 :
bij de eerste: nul?
ik weet niet of dat getal ook meetelt maar 't klopt wel

Die had ik al, bedankt!

Maar ik heb 2 getallen nodig, en ben nog op zoek naar het 2e

[IvdSangen]

(x + 1) en (x - 2) zijn blijkbaar factoren van 4x^4+7x^3-ax^2+bx+20. Deze kun je er dus uitdelen. Hierna houdt je een tweedegraadsvergelijking over met onbekende a en b. Misschien dat je er dan uitkomt.

Edit: Er staat nergens dat de twee getallen niet dezelfde mogen zijn. Dus 0 en 0 is een geldig antwoord.

wp160366 schreef op 15-09-2004 @ 17:27 :
Die had ik al, bedankt!

Maar ik heb 2 getallen nodig, en ben nog op zoek naar het 2e

hmm.. volgens mij heb je het dan al opgelost?
ik lees de vraag namelijk als een vraag met het antwoord
getal 1= nul
getal 2= nul

dat zijn 2 getallen (goh )
en het geeft antwoord op de vraag

[Twinsangel]

2e getal kan dat soms 2 zijn? (2+2=4, 2*2=4, 2²=4)

[wp160366]

Twinsangel schreef op 15-09-2004 @ 17:44 :
2e getal kan dat soms 2 zijn? (2+2=4, 2*2=4, 2²=4)

In de opgave staat er : het verschil van de kwadraten dus 2²-2² = 0

Denk ik dus niet.

Maar o en 0 zullen wel correct zijn, er staat inderdaad nergens dat het 2 verschillende getallen moeten zijn, bedankt!

[wp160366]

IvdSangen schreef op 15-09-2004 @ 17:31 :
(x + 1) en (x - 2) zijn blijkbaar factoren van 4x^4+7x^3-ax^2+bx+20. Deze kun je er dus uitdelen. Hierna houdt je een tweedegraadsvergelijking over met onbekende a en b. Misschien dat je er dan uitkomt.

Edit: Er staat nergens dat de twee getallen niet dezelfde mogen zijn. Dus 0 en 0 is een geldig antwoord.

Heb derive laten solven om er X uit te halen, maar dat lukt niet erg goed, is een 2 minuten aan het rekenen, en krijg een hele reeks getallen

[liner]

het is een toelatingsexamens..ik denk niet dat ze graag willen dat je dit probleem met Derive oplost..

[mathfreak]

wp160366 schreef op 15-09-2004 @ 17:20 :
- Zoek twee getallen als je weet dat hun som, hun product en het verschil van hun kwadraten dezelfde waarde hebben.

Laat a en b de gezochte getallen zijn, dan moet gelden: a+b=a*b=a²-b².
Maak gebruik van a²-b²=(a+b)(a-b), dan geldt dus: a+b=(a+b)(a-b). Hieruit volgt: a+b=0 of a-b=1, dus a=-b of a=b+1. Uit a=-b volgt: a*b=-b²=0, dus b=0 en a=0. Uit a=b+1 volgt: 2*b+1=a*b=b²+b, dus b²-b-1=0,
dus b=(1-sqrt(5))/2=1/2-1/2*sqrt(5) en a=1 1/2-1/2*sqrt(5)
of b=(1+sqrt(5))/2=1/2+1/2*sqrt(5) en a=1 1/2+1/2*sqrt(5).
Dit geeft dus de oplossingen:
a=b=0
a=1 1/2-1/2*sqrt(5) en b=1/2-1/2*sqrt(5)
a=1 1/2+1/2*sqrt(5) en b=1/2+1/2*sqrt(5).

wp160366 schreef op 15-09-2004 @ 17:20 :
- Bereken a en b opdat: 4x^4+7x^3-ax^2+bx+20 deelbaar is door (x+1)(x-2) en zoek daarna hun quotiënt.

Zie mijn reply in http://forum.scholieren.com/showthre...hreadid=955634

[IvdSangen]

Wat doe je precies dan?

Met factor uitdelen bedoel ik dat je een staartdeling maakt waarbij je de polynoom deelt door een factor. Dit kun je dus twee keer doen. Een keer voor (x - 1) en een keer voor (x + 2).

(x + 1)/4x⁴ + 7x³ - ax² + b +2\4x³ + 3x² + (-3-a)x + (3 + a - b) met rest -(3 + a - b) + 2

Hoe ik aan dit resultaat kom is een beetje lastig uitleggen, maar zoeken op factor, polynoom en delen of uitdelen levert misschien iets op.

We weten dat de staartdeling op 0 moet uitko0men, omdat (x + 1) een bestaande factor is (gegeven). Dus -(3 + a - b) = 0.

We kunnen de andere factor nou nog eens uit het resultaat van de vorige staartdeling halen. Met de rest daarvan kunnen we dan een stelsel vergelijkingen met twee onbekenden opstellen.

De tweede staartdeling levert de rest 3a - b + 29 op. Nu kunnen we dus stellen:

-a + b - 3 = 0
3a - b + 29 = 0

Dit levert op:

a = -(29/2) en b = -(23/2)

a/b = 29/23

Ik hoop dat ik geen fouten heb gemaakt, dus ik zou het even controleren. Veel succes!

Edit: Als ik naar de reply's in dat andere topic kijk dan zie ik dat ik waarschijnlijk iets helemaal verkeerd begrepen heb. :X

[TD]

Voor je 2e vraag kan je de methode gebruiken die liner in dit topic gebruikte.

Deelbaar zijn door x+1 en x-2 is in feite equivalent met -1 en 2 als nulpunten hebben.

De functiewaarde in -1 en in 2 moeten dus gelijk zijn aan 0, dan krijg je een stelsel van 2 vergelijkingen:

-a - b + 17 = 0
- 4a + 2b + 140 = 0
<=>
a+b-17=0
-2a+b+70=0

Met als oplossingen: a = 29 en b = -12

Je veelterm wordt dan:
4x^4 + 7x^3 - 29x^2 - 12x + 20
en is inderdaad deelbaar door x+1 en x-2

[IvdSangen]

Dat begrijp ik inderdaad, maar wat is er dan fout aan mijn (omslachtige ) manier?

[TD]

Ik kan het maar half volgen, en daardoor niet echt fouten zoeken.
Eerst voer je een deling uit en dan, ... ? Je laat wat stappen weg en opeens heb je een stelsel, ik kom er niet zo goed aan uit.

[IvdSangen]

Ik deel de polynoom (mbv een staartdeling) door de factor en stel dat er uit die deling een rest uitkomt die 0 is. Dat doe ik twee keer, want ik heb twee factoren en krijg dus 2 resten die 0 zijn. Die twee resten vormen mijn stelsel.

[TD]

Nu begrijp ik wat je doet, ik vermoed dat je fout dan ergens in de uitwerking zit, want op die manier kom ik er ook.

(4x^4 + 7x^3 - ax^2 + bx + 20)/(x + 1) =
4x^3 + 3x^2 - x(a + 3) + a + b + 3 - (a + b - 17)/(x + 1)

"4x3 + 3x2 + (-3-a)x + (3 + a - b)" dit vind ik ook bij jouw terug, op een tekenverschil na ongeveer hetzelfde, maar onze rest verschilt.

Uit T/N=Q+R/N volgt dat de rest gelijk is aan - (a + b - 17)
Op dezelfde manier vind je voor:

(4x^4 + 7x^3 - ax^2 + bx + 20)/(x - 2) =
4x^3 + 15x^2 + x(30 - a) - 2a + b + 60 - 2(2a - b - 70)/(x - 2)

Rest = - 2(2·a - b - 70)

Stelsel van deze 2 resten is gelijk aan het stelsel dat ik via de andere methode uitkwam, namelijk:

a + b - 17 = 0
- 2a + b + 70 = 0

Met als oplossingen: a = 29 en b = -12

[Mother Earth]

wp160366 schreef op 15-09-2004 @ 17:45 :
In de opgave staat er : het verschil van de kwadraten dus 2²-2² = 0

Denk ik dus niet.

Maar o en 0 zullen wel correct zijn, er staat inderdaad nergens dat het 2 verschillende getallen moeten zijn, bedankt!

Als een leraar in een toets (ofzo) zegt:
'Geef 6 voorbeelden van blabla'
Dan geef jij 6 dezelfde voorbeelden??

Lijkt me niet ^^

[Fatality]

Ik dacht dat je een lijst met 50 wiskunde problemen moest maken voor je leraar.....

Ik kon ook al niets verzinnen.

Mother Earth schreef op 16-09-2004 @ 17:37 :
Als een leraar in een toets (ofzo) zegt:
'Geef 6 voorbeelden van blabla'
Dan geef jij 6 dezelfde voorbeelden??

Lijkt me niet ^^

er wordt hier niet om 2 voorbeelden gevraagd maar om 1 voorbeeld met 2 getallen (IMO)

en hoe ging 't? Was 't moeilijk?

[wp160366]

Goed hoor, was ook geen toets, maar een gewone taak.

Had 48 op 50, diegene van jullie waren overigens allebei goed!

[wp160366]

Voor de liefhebbers nog een paar:

1.Welk getal is het grootst: 2^514;4^258;8^171;16^128 of 32^103

2.In een rechthoekige driehoek abc (a=90°) is p het snijpunt van de bissectrices Db en Dc. Da afstand van p tot de schuine zijde is Vierkantsw. 8. Hoe groot is de afstand van p tot a? vierkanstw.8;3;vierkanstw.10;vierkanstw.12 of 4.

3.Hoeveel reële oplossingen heeft FLOOR(2-x²)=|2-x²|? 0;2;3;5 of oneindig veel.

4.Als m> 0 is en de punten (m,3) en (1,m) op een rechte met rico m liggen, dan is m gelijk aan: 1;vierkanstw.2;vierkanstw.3;2 of vierkanstw.5

5.Wanneer men de rechte x-3y+11 spiegelt tov de x-as, bekomt men de rechte y = mx+b als beeld. De waarde van m+b is gelijk aan: -6;-5;-4;-3 of -2.

6.Welke van de volgende relaties (functies) leveren identiek dezelfde grafische voorstelling? I : y=x-2 II : y= x²-4/x+2 III : (x+2)y=x²-4. I en II; I en III; II en III; I en III en III; geen van de drie.

7.In een driehoek abc is b = 120), ||ab|| = 3 en ||bc|| = 4. Onderstel dat de loodlijnen op [ab] in a en op [bc] in c elkaar snijden in d, dan is ||cd|| gelijk aan : 3;8/vierkanstw.3;5;11/2 of 10/vierkanstw.3

8.Het middelpunt van het bovenvlak van een kubus met ribbe 2 ligt op gelijke afstanden van de vier hoekpunten van het grondvlak. Die afstand is gelijk aan vierkanstw.5;vierkanstw.6;vierkanstw.7;2vierkanstw.2 of 3

9.In een scherphoekige driehoek abc verdeelt a) een hoogtelijn b)een binnenbissectrice c)een zwaartelijn d) een middelloodlijn of e) een middenparallel de driehoek in 2 delen met gelijke oppervlakte.

10.De vergelijking |4-5x| =-x heeft in R:
- 2 opln waarvan één pos. en de andere nega.
-één nega. oplossing.
-twee nega. oplossingen.
-2 pos. oplossingen.
-geen opl.


5,7 en 8 heb ik nog niet gevonden

[liner]

5.Wanneer men de rechte x-3y+11 spiegelt tov de x-as, bekomt men de rechte y = mx+b als beeld. De waarde van m+b is gelijk aan: -6;-5;-4;-3 of -2.


x-3y+11=0 ==> y= x/3+11/3 en het snijpunt met de x-as is
(-11,0) en met de y-as is (0,11/3). Dus bij het omspiegelen gaat het spiegelbeeld door (0,-11/3) en (-11,0)
merk op dat het snijpunt met de x-as niet verandert.
we krijgen voor y=mx+b door de coordinaten in te vullen
-11/3=0+b dus b=-11/3
ook geldt er
0=-11m+b
of wel 0=-11m-11/3 ==>> m=-1/3

m+b=-1/3-11/3=-4

[liner]

8.Het middelpunt van het bovenvlak van een kubus met ribbe 2 ligt op gelijke afstanden van de vier hoekpunten van het grondvlak. Die afstand is gelijk aan vierkanstw.5;vierkanstw.6;vierkanstw.7;2vierkanstw.2 of 3
de afstand tussen Het middelpunt van het bovenvlak en Het middelpunt van het ondervlak is gelijk aan 2.
de afstand tussen een hoekpunt en het middenpunt in het ondervlak is gelijk aan de helft van de diameter: dus aan 2wortel(2)/2=wortel(2)
m.b.v de stelling van pythagoras krijg je
afstand tussen middenpunt bovenvlak en een hoekpunt in het ondervlak=wortel(2²+wortel(2)²)=wortel(6)

[mathfreak]

wp160366 schreef op 19-09-2004 @ 19:38 :
7.In een driehoek abc is b = 120), ||ab|| = 3 en ||bc|| = 4. Onderstel dat de loodlijnen op [ab] in a en op [bc] in c elkaar snijden in d, dan is ||cd|| gelijk aan : 3;8/vierkanstw.3;5;11/2 of 10/vierkanstw.3

Maak gebruik van het feit dat de som van de hoeken in een vierhoek gelijk is aan 360°, dan geldt: hoek(ADC)+180°+120°=360°,
dus hoek(ADC)=360°-300°=60°. Met behulp van de cosinusregel vind je: ||ac||²=||ab||²+||bc||²-2*||ab||*||bc||*cos(120°)=25+1/2*24=25+12=37, dus ||ac||=sqrt(37). Met de sinusregel vinden we nu: ||ac||/sin(120°)=||bc||/sin a, dus sqrt(37)/1/2=4/sin a,
dus sqrt(37)*sin a=4*1/2=2, dus sin a=2/sqrt(37).
Nu geldt: hoek(CAD)=90°-hoek a, dus sin(hoek(CAD))=sin(90°-hoek a)
=cos(hoek a)=sqrt(33)/sqrt(37). Toepassen van de sinusregel in driehoek ACD levert nu: ||cd||/sin(hoek(CAD))=||ac||/sin(hoek(ADC)), dus ||cd||*sqrt(37)/sqrt(33)=sqrt(37)/sin(60°),
dus ||cd||/sqrt(33)=1//sin(60°), dus ||cd||*sin(60°)=||cd||*1/2*sqrt(3)=sqrt(33), dus ||cd||=2*sqrt(33)/sqrt(3)=2*sqrt(33/3)=2*sqrt(11).