[WI] Twee integralen

[DMC]

Wat is de integraal van sqrt(t)*ln(t)
en is
" integraal van 0 tot oneindig x/(x^3+1) " convergent of divergent.
Waarbij het mij natuurlijk niet gaat om de antwoorden maar hoe je aan het antwoord komt.

Alvast bedankt!

[Mostmaster]

Bij je eerste vraag kun je gebruik maken van partieel integreren bijvoorbeeld. Neem dan bijv u = lnx, dus du = dx/x en dv = sqrt(x)dx, dus v = 2/3xsqrt(x). De rest kun je dan zelf wel denk ik.

Bij je tweede vraag zou ik 'em splitsen in de integraal van 0 tot 1 en van 1 tot oneindig. Bij de eerste neem je dan de integraal van t tot 1 en neemt de limiet van t->0+. Bestaat de limiet, dan is deze convergent en anders divergent. Iets soortgelijks doe je met de tweede, maar daar neem je de integraal van 1 tot t waarbij je de limiet t->oneindig neemt. Is een van deze twee divergent, is de hele integraal divergent.


Hoop dat 't een beetje duidelijk is.

[edit] Hmmm, zie nou dat ik de tweede integraal verkeerd heb gelezen. Je hoeft hem niet te splitsen, maar kunt meteen de integraal van 0 tot t nemen waarbij t->oneindig.

[DMC]

Ok, dat weet ik allemaal. De eerste is overigens gelukt, maar wat is de primitieve van x/(x^3+1)?

[nienie]

Het lijkt me niet dat je die primitieve exact moet gaan bepalen. Dat wordt namelijk een vrij ingewikkelde functie, aangezien er een functie in de noemer staat.

Ik wil niet zeggen dat ik weet hoe je het dan wel moet doen, misschien bedenken wat de integraal eigenlijk inhoudt?

edit: even met Maple de integraal bepaald:
1/6*ln(x^2-x+1)+1/3*3^(1/2)*arctan(1/3*(2*x-1)*3^(1/2))-1/3*ln(x+1)
tja...

[mathfreak]

DMC schreef op 03-11-2004 @ 21:58 :
Ok, dat weet ik allemaal. De eerste is overigens gelukt, maar wat is de primitieve van x/(x^3+1)?

Dit kun je waarschijnlijk het beste berekenen met behulp van partieel integreren. Kies f(x)=x en g(x)=1/(x³+1) en pas de formule voor partieel integreren toe. Laat vervolgens de bovengrens van de gevonden integraal naar oneindig gaan en kijk of de limiet die je dan krijgt bestaat. Als dat zo is, dan is de desbetreffende integraal convergent en anders divergent.

[GinnyPig]

x/(x³+1) =
x/{(x+1)(x²-x+1)} =
(x+1)/{3(x²-x+1)} - 1/{3(x+1)} =
(x-1/2+3/2)/{3((x-1/2)²+3/4))} - 1/{3(x+1)} =
(x-1/2)/{3(x-1/2)²+3/4)} + (3/2)/{3((x-1/2)²+3/4))} - 1/{3(x+1)}

Ik heb de breuk dus opgesplitst in 3 termen, door middel van het factoriseren van de noemer met behulp van het kwadraat afsplitsen, en vervolgens de breuk te splitsen in 3 aparte termen. Het ziet er misschien minder overzichtelijk uit, maar iedere term is namelijk in de vorm van integralen die je (misschien) kent.

Eerst de eerste term: (x-1/2)/{3(x-1/2)²+3/4)}
Zoals je ziet staat in de teller ongeveer de afgeleide van de noemer, op een factor 2 na. Neem daarom
t = (x-1/2)²+3/4
(x-1/2)dx = 1/2*d((x-1/2)²+3/4) = 1/2*dt
Wat je dus moet integreren is:
1/(6t)
Deze primitieve is uiteraard:
1/6Log[t] = 1/6 Log[(x-1/2)²+3/4)] = 1/6 Log[x²-x+1]

De tweede zou je ook kunnen herkennen. Wat herschrijven levert:
(3/2)/{3(x-1/2)²+3/4)} =
(3/2)/{9/4( 4/3*(x-1/2)²+1)} =
2/{3(((2x-1)/Sqrt[3])²+1)}

Deze is in de vorm van 1/(1+z²) en heeft als primitieve: Arctan[z]. Alleen ipv z² staat er nu ((2x-1)/Sqrt[3])². Substitueer:
t = (2x-1)/Sqrt[3]
dx = Sqrt[3]/2 dt
En je krijgt de integraal over:
2/{3(t²+1)} * Sqrt[3]/2 = 1/{Sqrt[3](t²+1)}

Primitieve hiervan is:
Arctan[t]/Sqrt[3] = Arctan[(2x-1)/Sqrt[3]]/Sqrt[3]

De laatste term is simpel:
-1/(3(x+1)) => -1/3Log[x+1]

Oftewel, de primitieve van x/(x³+1) is:
1/6 Log[x²-x+1] + Arctan[(2x-1)/Sqrt[3]]/Sqrt[3] - 1/3Log[x+1]

[GinnyPig]

Oh, je wou ook nog het gedrag weten...

Primitieve is: 1/6 Log[x²-x+1] + Arctan[(2x-1)/Sqrt[3]]/Sqrt[3] - 1/3Log[x+1]

Voor x = 0 zijn beide logaritmes 0 (je krijgt namelijk Log[1]). Arctan[(2x-1)/Sqrt[3]]/Sqrt[3] is daarentegen gelijk aan:
Arctan[-1/Sqrt[3]]/Sqrt[3] = -pi/(6Sqrt[3])
De ondergrens geeft dus geen problemen.

Voor x -> oneindig:

Lim_x->inf Arctan[(2x-1)/Sqrt[3]]/Sqrt[3] = pi/(2Sqrt[3])

Beide logaritmes divergeren voor x->oneindig; ze verschillen echter een min-teken. Je moet dus de limiet nemen voor beide logaritmes tegelijk:
Lim_x->inf 1/6 Log[x²-x+1] - 1/3Log[x+1] =
Lim_x->inf Log[(x²-x+1)^1/6] - Log[(x+1)^1/3] =
Lim_x->inf Log[(x²-x+1)^1/6/(x+1)^1/3] =
Lim_x->inf Log[x^1/3(1-1/x+1/x²)^1/6/(x^1/3(1+1/x)^1/3)] =
Lim_x->inf Log[(1-1/x+1/x²)^1/6/(1+1/x)^1/3]

Alle termen met 1/x gaan naar 0 voor x->inf. Je houdt daarom over:
Log[(1-0+0])^1/6/(1+0)^1/3] =
Log[1] = 0

Oftewel, in deze limiet is de integraal ook convergent. De hele integraal is nu zelfs berekend:
Integraal[{0,...,oneindig} x/(x³+1)] = pi/(2Sqrt[3]) - (-pi/(6Sqrt[3])) = 2pi/(3Sqrt[3])

Ik vrees eigenlijk dat je een andere manier moest gebruiken om het convergente gedrag van de integraal te bepalen... Maar het klopt in ieder geval wel

[DMC]

GinnyPig schreef op 04-11-2004 @ 21:07 :
...

Ieder geval bedankt , maar heb al mijn Analyse tentamen gehad (en niet goed gemaakt). Zal het wel een keer bekijken.