[Wi] Vraagje matrices

Kan iemand mij helpen met deze opgave:

"Bepaal alle 2 x 2-matrices X waarvoor X² = O_2x2"

Niemand van mijn klas (12 lln) raakt hier wijs uit.. we zitten allemaal muurvast..

Bedankt bij voorbaat!

Wat is O? De nulmatrix?

Waarschijnlijk bedoel je: "Bepaal alle 2x2-matrices X waarvoor X^2 een orthogonale matrix is".

Een orthogonale matrix is een matrix waarbij de kolomvectoren een orthonormale verzameling vormen.

Je kunt bewijzen dat een matrix orthogonaal is dan en slechts dan als de getransponeerde van de matrix vermenigvuldigd met de matrix zelf gelijk is aan de identiteitsmatrix.

Hiermee heb je je opgave bijna opgelost; je hoeft immers alleen maar het laatste uit te schrijven voor een 2x2-matrix.

[mathfreak]

CyberThijs schreef op 17-09-2005 @ 17:02 :
Kan iemand mij helpen met deze opgave:

"Bepaal alle 2 x 2-matrices X waarvoor X² = O_2x2"

Niemand van mijn klas (12 lln) raakt hier wijs uit.. we zitten allemaal muurvast..

Bedankt bij voorbaat!

Kies voor de elementen van X de getallen a, b, c en d en leid met behulp van X² = O_2x2 een relatie tussen a, b, c en d af. Je vindt dan vanzelf alle 2 x 2-matrices X die aan de gevraagde eigenschap voldoen.

@Steven31415: Met O_2x2 wordt hier de 2 x 2-nulmatrix bedoeld. Jij bent in de war met de groep O(2), die de groep van alle orthogonale 2 x 2-matrices voorstelt.

Ik bedoel de nulmatrix natuurlijk, sorry voor de verwarring

@mathfreak: bedankt voor de hulp! Ik ga hier 'ns serieus op doorzoeken!

Ik zit nu al hier:


En ik kom dus op deze vergelijkingen:

• a²+bc = 0 (1)
• ab+db = 0 (2)
• ac+cd = 0 (3)
• bc+d² = 0 (4)

Maar als ik dit nu verder uitwerk door de bc van (1) in (4) te vervangen, enz. dan kom ik altijd uit op foute oplossingen zoals:[list][*]a = d of a = -d[*]ab = 0[*]ac = 0

Waar maak ik een fout tijdens het uitwerken van die vergelijkingen?

Hmm.. ik heb net de uitkomst gevonden in m'n wiskundeboek (stond blijkbaar achteraan vermeld)

met b en c verschillend teken

Kan iemand mij uitleggen hoe je in godsnaam tot daar komt?

[mathfreak]

CyberThijs schreef op 18-09-2005 @ 15:05 :
Hmm.. ik heb net de uitkomst gevonden in m'n wiskundeboek (stond blijkbaar achteraan vermeld)

[afbeelding] met b en c verschillend teken

Kan iemand mij uitleggen hoe je in godsnaam tot daar komt?

Kijk nog maar eens naar de vergelijkingen a²+b*c=0 en b*c+d²=0. Uit
a²+b*c=0 volgt: a²=-b*c. Wil a² een positief getal zijn, dan moeten b en c een verschillend teken hebben. Je vindt dan: a=sqrt(-b*c) of a=-sqrt(-b*c). Invullen van b*c=-a² in b*c+d²=0 geeft: -a²+d²=0, dus a²=d², dus a=d of a=-d. Uit a*b+b*d=0 volgt: b(a+d)=0, dus b=0 of a=-d. Omdat b en c een verschillend teken hebben kan b niet nul zijn, dus moet gelden: a=-d, dus je vindt dan: a=sqrt(-b*c) en d=-sqrt(-b*c) of of a=-sqrt(-b*c) en d=sqrt(-b*c).

Mathfreak, je bent echt geweldig!

Respect man!